Август 2020 17-қисм

Август 2020 17-қисм
Тошкент
KO’PHADLAR USTIDA AMALLAR
Ubaydullayeva Marhamatoy Ulug’bekovna
Sirdaryo viloyati Guliston tumani
20-umumiy o‘rta ta’lim maktabi Matematika fani o‘qituvchisi
[phone]
Annotatsiya: 
maqolada Bir o‘zgaruvchili A(x) va B(x) ko‘phadlar uchun A(x) = B(x) × Q(x) 
(1) tenglik o‘rinli bo‘ladigan Q(x) ko‘phad mavjud bo‘lsa, A(x) ko‘phad B(x) ko‘phadga bo‘linadi 
(yoki qoldiqsiz bo‘linadi) deyilishi haqidagi fikrlar yoritilgan.
Kalit so‘zlar: 
bo‘linma, ko‘phad, ayniyat, qoldiqsiz, qoldiqli, burchakli bo‘lish.
Bir o‘zgaruvchili 
A
(
x
) va 
B
(
x
) ko‘phadlar uchun 
A
(
x
) = 
B
(
x
) × 
Q
(
x
) (1) tenglik o‘rinli bo‘ladigan 
Q
(
x
) ko‘phad mavjud bo‘lsa, 
A
(
x
) 
ko‘phad B
(
x
) 
ko‘phadga bo‘linadi 
(yoki qoldiqsiz bo‘linadi) 
deyiladi. Bunda 
A
(
x
) ko‘phad 
bo‘linuvchi
, 
B
(
x
) ko‘phad 
bo‘luvchi
, 
Q
(
x
) ko‘phad esa 
bo‘linma 
deyiladi.
X
3
- 1 = (
x
2 + 
x 
+ 1)(
x 
- 1) ayniyatdan, 
A
(
x
) = 
x
3
- 1 ko‘phadning 
B 
(
x
) = 
x
2
+ 
x 
+ 1 ko‘phadga 
(qoldiqsiz) bo‘linishini va bo‘linma 
Q 
(
x
) = 
x 
- 1 ko‘phadga tengligini ko‘ramiz.
Butun sonni butun songa (butun) bo‘lish amali kabi, ko‘phadni ko‘phadga qoldiqsiz bo‘lish 
amali hamma vaqt ham bajarilavermaydi. Shu sababli ko‘phadni ko‘phadga qoldiqsiz bo‘lishga 
nisbatan yanada umumiyroq bo‘lgan amal– ko‘phadni ko‘phadga qoldiqli bo‘lish amali kiritiladi.
A
(
x
) 
ko‘phadni B
(
x
) 
ko‘phadga qoldiqli bo‘lish 
deb, uni quyidagicha ko‘rinishda tasvirlashga 
aytiladi:
A 
(
x
) = 
B 
(
x
) × 
Q 
(
x
) + 
R 
(
x
). (2) (2) tenglikdagi 
Q
(
x
) va 
R
(
x
) lar bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar 
bo‘lib, 
R
(
x
) ko‘phadning darajasi 
B
(
x
) ko‘phadning darajasidan kichik yoki 
R
(
x
) = 0. (2) 
tenglikdagi 
A
(
x
) ko‘phad 
bo‘linuvchi
, 
B 
(
x
) ko‘phad 
bo‘luvchi
, 
Q 
(
x
) ko‘phad 
bo‘linma 
(yoki 
to‘liqsiz bo‘linma), 
R 
(
x
) ko‘phad esa 
qoldiq 
deyiladi.
Agar (2) tenglikda 
R
(
x
) = 0 bo‘lsa, (1) tenglik hosil bo‘ladi, ya’ni 
A
(
x
) ko‘phad 
B
(
x
) ko‘phadga 
qoldiqsiz bo‘linadi. Shu sababli qoldiqsiz bo‘lishni qoldiqli bo‘lishning xususiy holi sifatida 
qaraymiz.
Oliy matematika kursida, har qanday 
A
(
x
) ko‘phadning har qanday 
B 
(
x
) ko‘phadga (bu yerda 
B 
(
x
) ¹ 0) qoldiqli bo‘linishi haqidagi quyidagi teorema isbotlanadi.
Тeorema. 
A(x) va B(x) ko‘phadlar haqiqiy koeffitsiyentli va B
(
x
) ¹ 0 
bo‘lsin. U holda shun-
day Q(x) va R(x) ko‘phadlar topiladiki, ular uchun A
(
x
) = 
B
(
x
) × 
Q(x) 
+ 
R(x) tenglik o‘rinli 
bo‘ladi va bunda R(x) ning darajasi B(x) nikidan kichik yoki R
(
x
) = 0 
bo‘ladi hamda Q(x), 
R(x) ko‘phadlar bir qiymatli aniqlanadi.
Bu teorema ko‘phadni ko‘phadga bo‘lishning amaliy usulini bermaydi. Ko‘phadni ko‘phadga 
bo‘lishning amaliy usullari – «
aniqmas koeffitsiyentlar usuli
» va «
burchakli bo‘lish
» usulini 
misollarda qaraymiz.
1-mi s o l. 
A
(
x
) = 
x
3
+ 
x 
+ 1 ko‘phadni 
B
(
x
) = 
x
2
+ 
x 
+ 1 ko‘phadga aniqmas koeffitsiyentlar 
usuli bilan bo‘lamiz.
Y e c h i s h. 
A
(
x
) ko‘phad 3- darajali, 
B
(
x
) esa 2-darajali ko‘phad bo‘lgani uchun 
Q
(
x
) 
ko‘phad 1- darajali ko‘phad bo‘lishi kerak. 
A
(
x
) ko‘phadni 
B
(
x
) ko‘phadga bo‘lishdagi qoldiqning 
darajasi ko‘pi bilan 1 ga teng bo‘ladi. Shu sababli 
Q
(
x
) ni 
Q
(
x
) = 
ax 
+ 
b 
ko‘rinishda, 
R
(
x
) ni 
esa 
R
(
x
) = 
px 
+ 
q 
ko‘rinishda izlaymiz. Bu yerdagi 
a
, 
b
, 
p
, 
q 
lar topilishi kerak bo‘lgan aniqmas 
koeffitsiyentlardir.
A 
(
x
) = 
B 
(
x
) × 
Q 
(
x
) + 
R 
(
x
) tenglikni 
x
3
+ 
x 
+ 1 = (
x
2
+ 
x 
+ 1) × (
ax 
+ 
b
) + (
px 
+ 
q
) 
ko‘rinishda yozib, uning o‘ng tomonidagi amallarni bajaramiz. Ixchamlashtirishlardan so‘ng, 
x
3
+ 
x 
+ 1 = 
ax
3
+ (
a 
+ 
b
)
 x
2
+ (
a 
+ 
b 
+ 
p
)
x 
+ (
b 
+ 
q
) tenglikni hosil qilamiz. 
n
- darajali 
A 
(
x
) va 
m
- (
m 
£ 
n
) darajali 
B 
(
x
) ikkita ko‘phad berilgan bo‘lib, ularning 
eng katta 
umumiy bo‘luvchisini 
toppish talab qilinsin. Uni topishda 
Yevklid algoritmi
dan foydalanamiz: 
oldin 
A
(
x
) ni 
B
(
x
) ga bo‘lamiz, so‘ng 
B
(
x
) ni birinchi
r
1(
x
) qoldiqqa, undan so‘ng 
r
1(
x
) ni ikkinchi 
r
2(
x
) qoldiqqa bo‘lamiz va hokazo. Bo‘linmalarni 
qk 
orqali belgilaylik, bunda 
k 
= 1, 2, 3, ... . Quyidagiga ega bo‘lamiz:
A 
(
x
) = 
B 
(
x
) × 
q
1(
x
) + 
r
1(
x
),
B 
(
x
) = 
r
1(
x
) × 
q
2(
x
) + 
r
2(
x
),
r
1(
x
) = 
r
2(
x
) × 
q
3(
x
) + 
r
3(
x
),

---

27
Август 2020 17-қисм
Тошкент
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
rn
-2(
x
) = 
rn
-1(
x
) × 
qn
(
x
) + 
rn
(
x
),
rn
-1(
x
) = 
rn
(
x
) × 
qn
+1(
x
).
Agar 
A
(
x
) va 
B
(
x
) lar umumiy bo‘luvchiga ega bo‘lmasa (ya’ni eng katta umumiy bo‘luvchi 
doimiy son bo‘lsa), ular 
o‘zaro tub
ko‘phadlar 
deyiladi. Тenglamalarning karrali ildizlarini topish 
kabi masalalarni hal qilishda Yevklid algoritmidan foydalanadilar. Ketma-ket bo‘lishlardan 
qoladigan qoldiqlarning darajalari (ular natural sonlar) kamayib, bir necha qadamdan so‘ng 0 ga 
teng bo‘ladi
(
rn
+1(
x
) = 0). Undan oldingi noldan farqli 
rn
(
x
) ¹ 0 qoldiq 
A
(
x
) va 
B
(
x
)
ning eng katta umumiy bo‘luvchisi bo‘ladi.
3-mi s o l. 
A 
(
x
) = 
x
3
- 3
 x
2
+ 3
x 
- 1 va 
B
(
x
) = 
x
2
- 
x 
ko‘phadlarning
eng katta umumiy bo‘luvchisini topamiz.
Ye ch i s h. 1) 
x
3
- 3
 x
2
+ 3
x 
- 1 
x
2 - 
x
x
3
- 
x
2
 
- 2
-2
 x
2
+ 3
x
-2
 x
2
+ 2
x
r
1 = 
x 
- 1
2) 
x
2
- 
x x 
- 1 Eng katta umumiy bo‘luvchi:
x
2
- 
x x x 
- 1.
r
2 = 0
4- mi s o l. 
A 
(
x
) = 
x
3
- 3
x
2 + 3
x 
- 1 va 
B 
(
x
) = 
x
2
-
x 
– 1 larning eng katta umumiy bo‘luvchisini 
topamiz.
Yechish. Ketma-ket bo‘lishlar natijasida quyidagi oraliq natijalarni topamiz: 
r
1(
x
) = 2
x 
-3, 
r
2 = 
-0,25 ¹ 0. Demak, 
A
(
x
) va 
B
(
x
) ko‘phadlar umumiy bo‘luvchiga ega emas, ya’ni ular o‘zaro tubdir.
Yuqorida ko‘rsatilgan ko‘phadlar ustidagi amallar ko‘phadlarni tushunishtirishga, o‘quvchilarni 
bilimini oshirishga yordam beradi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. Abduhamidov A., Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari. I qism, «Istiqbol», 
T., 2000. 
2. Abduhamidov A., Nasimov H.A. Algebra va matematik analiz asoslari. II qism. «Istiqbol», 
T., 2000.
3. Abduhamidov A., Musurmonov O.L., Nasimov H.A. Matematika tarixidan lavhalar. 
«Matbaa tongi», T., 2000.

---

28
Август 2020 17-қисм
Тошкент
SON VA IFODA TUSHUNCHASI
Xojimatova Maftuna Ganjinovna
Namangan viloyati Namangan shaxri
64-umumiy oʻrta ta’lim maktabi Matematika fani oʻqituvchisi
[e-mail]
[phone]
Annotatsiya: 
Ushbu maqolada 5-sinf oʻquvchilari uchun yil boshida boshlangʻich sinfda oʻtil
-
gan son va ifodani tushunchasi takrorlashga oid fikrlar berilgan. 
Kalit soʻzlar: 
oʻzgaruvchili ifoda, ifodaning qiymati, kartochka, yigʻindi, matematik ifoda. 
Oʻzgaruvchi tushunchasi hozirgi zamon matematikasining muhim tushunchalaridandir. 
Oʻzgaruvchi - bu belgi, uning oʻrniga har xil qiymatlarni qoʻyish mumkin. Oʻzgaruvchili ifoda 
umumiy tushunchasi sonli ifoda tushunchasi kabi aniqlanadi, oʻzgaruvchili ifodali sonlardan 
tashqari harflar ham boʻladi. Masalan, 3 *a + 4, a + b, b - 3 va hokazo. Birinchi marta harfdan 
noma’lumni ifodalovchi belgi (alomat, ishora) sifatida x + 3 = 10, 7 +x = 9, x - 5 = 3 va xokazo 
koʻrinishdagi eng sodda tenglamalarni yechishda ifodalanadi. 
Tayyorgarlik bosqichida ―matematik ifoda, ―ifodaning qiymati kabi yangi terminlar bilan 
tanishadilar. Bunday tayyorgarlik ishidan keyin bolalarni ikki oʻzgaruvchilik matematik ifodalar 
bilan tanishtirishga kirishish mumkin ―oʻzgaruvchi termin bolalarga aytilmaydi. Ishni ―Jonli 
matematik ifodalar oʻyinini oʻtkazishdan boshlash kerak. Oʻqituvchilarga moʻljallangan metodik 
adabiyotda bu oʻyinning mohiyati bunday tasvirlanadi: doskaga uchta bola chiqariladi: bir 
bolaga masalan 10 soni yozilgan kartochka, ikkinchi boga ―plyus ishorasi yozilgan kartochka, 
uchinchi bolaga masalan, 8 soni yozilgan kartochka beriladi. Bolalar bir qator boʻlib turishadi 
va kartochkalarni koʻtarishadi. 
Siz qanday matematik ifodani koʻrayapsiz? (10 va 8 sonlarning yegindisini.) Yana uchtadan 
uch marta, ya’ni 9 ta oʻquvchi chiqariladi, boʻlar yangi (masalan, 7 + 7, 15 + 4, 40 + 31) 
yigʻindilarini namoyish qilishadi, bunda har bir yangi uchlik oldingi uchlik oldiga turadi. Har bir 
yangi ifodani bolalar oʻqishadi. Siz qancha matematik ifoda tuzdingiz? (4 ta). Yana 
tuzish 
mumkinmi? Qancha? Xa, sinfning xamma bolalarini turgizib boʻlib, boshqa sinf oʻquvchilarini 
ham taklif qilishimiz mumkin. Xamma ifodalar nimasi bilan oʻxshash? (Amal bir xil xammasi 
ham qoʻshishga doir.) Birinchi qoʻshiluvchi boʻlgan xamma sonlarni ayting. (10,7,15,40.) Biz 
bilamizki, juda koʻp ifoda tuzishimiz mumkin, u holda boshqa sonlar ham birinchi qoʻshiluvchi 
boʻladi. Har xil sonlarni yozish uchun birinchi qoʻshiluvchi boʻlishi mumkin boʻlgan istalgan 
sonni biror harfiy belgi, masalan a harfi bilan belgilash mumkin. 
Oʻqituvchi 
a
harfi yozilgan kartochkani koʻrsatadi. Chiqarilgan oʻquvchi bu kartochka 
bilan bolalar oldiga turadi, qolgan bolalar esa birinchi qoʻshiluvchini ifodalovchi har qanday 
son ham harf bilan (masalan v harfi bilan) belgilanishi mumkin boʻlgan sonlarni koʻrsating. 
(Bolalar koʻtarishadi.) Bu a harfining sonli qiymatlaridir. a harfiga boshqa son qiymatlari berish 
mumkunmi? (mumkin) Masalan, qanday sonlarni? (Bolalar bir soni aytishadi). Kartochkalarni 
koʻtaring va v harfi qa’boʻl qilishi mumkin boʻlgan son qiymatlarni koʻrsating. (koʻrsatishadi) 
v harfiga boshqa son qiymatlarni berish mumkunmi? (Bolalar bir qancha qiymatni aytishadi.). 
Endi harflar yordamida yozing. 
CHaqirilgan oʻquvchi ―plyus ishora yozilgan kartochkani oladi va a hamda v harflari yozilgan 
kartochkani ushlab turgan oʻquvchilar orasiga turadi. 
Bunda a va v sonlarning yigindisi ifodalangan (bolalar xor boʻlshadi: a va v sonlarning 
yegindisi). Agar a=10, v=8 boʻlsa, u holda biz qanday ifodaga qanday ega boʻlamiz? Katochka 
yordamida koʻrsating. (Bolalar koʻrsatishadi: 10+8). SHundan keyin oʻqtuvchi a va v harflarning 
qiymatlarini aytadi kartochkalarning bilan turgan bolalar esa mos yigindilarni koʻrsatishadi. 
Ikki son ayirmasining harflar yordamida umumlashtirilgan yozilishi ham shunga oʻxshash 
kiritiladi. Bu yerda bolalar e’tborlarini shunga qaratish kerakki, bunda ham harflar oʻrniga har 
xil sonlarni olish mumkun, ammo kamayuvchi ayruvchidan katta yoki unga teng boʻlshi kerak. 
Olingan bilimlar mustaxkamlash uchun oʻquvchilarga ushbu koʻrinishdagi mashqlarni taklif 
qilish mumkun. 

---

29