Август 2020 17-қисм

 
( )
1(mod )
n
a
n


Isbot: 
Aytaylik, 
( )
n
k


bo‘lsin. 
n
dan kichik va 
n
bilan o‘zaro tub bo‘lgan turli 
1
2
, ,...,
k
r r
r
sonlari uchun 
1
2
,
,...,
k
ar ar
ar
sonlarni qaraymiz. U holda
1
1
(mod )
ar s
n

,
2
2
(mod )
ar s
n

,…,
(mod )
k
k
ar s
n

bo’ladi. Bu yerda 
1
2
, ,...,
k
s s
s
lar 
o‘zaro teng bo‘lmagan sonlar. Haqiqatan, agar qaysidir 
,
i j
lar uchun 
i
j
s s

bo‘lsa, u holda 
(mod )
i
i
ar s
n

,
(mod )
j
j
ar s
n

ekanligidan mos hadlarni ayirib yuborsak 
(
) (
)(mod ) 0(mod )
i
j
i
j
a r r
s s
n
n




kelib chiqadi. 
( , ) 1
a n

bo‘lgani uchun 
0(mod )
i
j
r r
n
 
bo‘ladi , ya‘ni 
i
j
r r

. Bu esa 
k
r
sonlarning turli ekanligiga zid. 
Shuningdek, 
1
2
, ,...,
k
s s
s
sonlarning barchasi 
n
bilan o‘zaro tub ekanligini ko‘rish qiyin emas. 
Chunki, 
a
va 
k
r
lar o‘zaro tub edi. Bundan esa 
1
2
1
2
...
...
k
k
r r
r
s s
s
      
tenglik kelib 
chiqadi. Endi 
(mod )
i
i
ar s
n

taqqoslamalarni hadma-had ko‘paytirsak, 
1
2
1
2
...
... (mod )
k
k
k
a r r
r s s
s
n
       
munosabatga ega bo’lamiz. Demak, 
1(mod )
k
a
n

.
�
Natija: 
Agar Eyler teoremasida 
n
soni o‘rniga biror 
p
tub son olinsa, u holda 
( )
1
p
p

 
ekanligidan quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz: 
1
1(mod )
p
a
p


. Ushbu 
taqqoslamaning ikkala tarafini 
a
ga ko‘paytirsak, 
(mod )
p
a
a
p

tenglik kelib chiqadi. Bu 
munosabat 
Fermaning kichik teoremasi
deyiladi.
1-masala: 
100
37
ni 
16
ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.
Yechish: 
Avval asos 
37
ni 
16
ga bo‘lgandagi qoldiq bilan almashtirib olamiz:
37 5(mod16)

. 
(5,16) 1

bo‘lganligi uchun Eyler teoremasiga ko‘ra 
(16)
5
1(mod16)


. 

---

69
Август 2020 17-қисм
Тошкент
Bilamizki, 
(16) 8



8
5 1(mod16)

.Demak, 
100
100
8 12
4
4
37
5
(5 ) 5 5
625 1(mod16)


 


. 
2-masala: 
2 0 0 2
7
2
ni 
352
ga bo’lgandagi qoldiqni toping.
Yechish: 
Demak biz 
2002
7
2
(mod352)
x

va 
0
352
x
 
shartlarni qanoatlantiruvchi 
x
ni 
topishimiz kerak. Bilamizki, 
5
352 2 11


tenglik o‘rinli, shu sababli 
2002
7
5
(2 ,352) 2

, 
bundan kelib chiqadiki 
5
1
2
x
x


. Taqqoslamaning uchta hadini ham 
5
2
ga qisqartirib 
yuborsak, 
2002
7
5
1
2
(mod11)
x


ga ega bo‘lamiz. Bilamizki, 
(2,11) 1

va 
(11) 10


tengliklar o‘rinli. Eyler teoremasiga ko‘ra, 
10
2
1(mod11)

.Endi biz 
2002
7
5

ni 
10
ga 
bo‘lgandagi qoldiqni topamiz ya‘ni, 
2002
7
5
(mod10)
y
 
va 
0
10
y
 
shartlarni 
qanoatlantiruvchi 
y
ni topamiz. Bu holatda, 
2002
7
5
2
2 (mod11)
y


bo‘ladi va bundan esa 
1
2
(mod11)
y
x

kelib chiqadi. Bilamizki, 
(7,10) 1

va 
(10) 4


tengliklar o‘rinli. Eyler 
teoremasiga ko‘ra,
4
7 1(mod10)

. Sodda hisob kitoblarga ko‘ra:
2002
4 500
2
7
5 (7 )
7
5 9 5 4(mod10)
 

   
ga ega bo‘lamiz. Demak, 
4
y

va 
4
1
2
(mod11)
x


1
5
x

bo‘ladi. Belgilashimizga ko‘ra, 
1
32
32 5 160
x
x

 
 
. 
 
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati: 
1. Engel, A., Problem-Solving Strategies, Problem Books in Mathematics, Springer, 1998. 
2. Number Theory-Structures, Examples, and Problems- Titu Andreescu, Dorin Andrica. 
3. Algebra va sonlar nazariyasi-
Sh.A.Ayupov, B.A.Omirov, A.X.Xudoyberdiyev, 
F.H.Haydarov,
Toshkent – 2019 

---

70
Август 2020 17-қисм
Тошкент
FUNKSIYA INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI VA BU USULLAR
YORDAMIDA TIPIK MASALALARNI YECHISH
Usmonova Nigoraxon Alisherovna 
Farg'ona viloyati Buvayda tumani
15-umumiy o'rta ta'lim maktabining
II toifali matematika fani o'qituvchisi
Telefon: [phone]
FUNKSIYA INTEGRALLASHNING ASOSIY USULLARI VA BU USULLAR 
YORDAMIDA TIPIK MASALALARNI YECHISH 
Usmonova Nigoraxon Alisherovna
Farg'ona viloyati Buvayda tumani 
15-umumiy o'rta ta'lim maktabining 
II toifali matematika fani o'qituvchisi 
Telefon: [phone] 
Annotatsiya: Ushbu maqolada funksiyalarni integrallashning asosiy usullarini tipik 
masalalarga qo'llash hamda metodik ko'rsatmalari bilan berilgan. 
Kalit so'zlar: funksiya, hosila, aniqlanmas integral, differensiyalash. 
Hozirgi zamon ilmiy-texnika taraqqiyoti sharoitida maktablarda yuqori malakali 
mutaxasislar tayyorlash borasida fizika-matematika fanlariga katta e'tibor berilyapti. 
Oliy matematika kursi bo'yicha chuqur va har tomonlama bilim egallash uchun faqat asosiy 
nazariy materialning o'zi yetarli bo'lmasdan, maxsus tanlangan misol va masalalarni yetarlicha 
yechish ham zarur bo'lyapti. Quyida siz funksiyalarni integrallashning asosiy usullariga doir 
ayrim masalalarning yechimlari bilan tanishasiz. 
Quyidagilar integrallashning asosiy usullari hisoblanadi:
1. Yoyib integrallash usuli. 
2. Bevosita integrallash usuli. 
3. O'rniga qo'yish usuli. 
4. Bo'laklab integrallash usuli. 
1. Yoyish(Integrallash ostidagi ifodani yoyib integrallash) usuli. 
Agar f(x)=f
�(x)±f�(x) bo'ls
a, u holda aniqmas integralning xossasiga ko'ra yozish 
mumkin: 
∫ 𝑓
(
𝑥
)
𝑑
(
𝑥
) =
∫ 𝑓₁
(
𝑥
)
𝑑
(
𝑥
) ±
∫ 𝑓₂
(
𝑥
)
𝑑
(
𝑥
) 
1-misol. 
∫
�
³
���
²
�����
�
²
d(x)=
∫
(
𝑥 −
2 +
�
�
+
�
�
²
)
d(x)=
∫ 𝑥𝑑𝑥 −
2
∫ 𝑑𝑥
+ 3
∫
��
�
+
∫
��
�
²
=
�
²
�
-
2x+3ln(x)-
�
�
+c. 
2-misol. 
cos(
�
�
) ²
dx=
�
�
∫
(1 + cos
𝑥
)
𝑑𝑥
=
�
�
∫ 𝑑𝑥
+
�
�
∫
cos
𝑥𝑑𝑥
=
�
�
(x+
sin
𝑥
)+c. 
2. Bevosita integrallash usuli. 
Bu usul asosida quyidagicha qoida yotadi: unga ko'ra aniqmas integrallarni hisoblaganda 
integrallash o'zgaruvchisi x erkli o'zgaruvchi yoki z=
φ
(x) funksiyadan iborat bo'lishidan qat'iy 
nazar integrallar jadvalini tatbiq qilish mumkin.
Bu usulni aniq misollarda ko'ramiz. 
1-misol. 
∫
��
����
²
=
�
�
∫
�
(
��
)
��
(
��
)²
=
�
�
arctg3x+c. 
2-misol. 
∫
��� ���
�������
=-
�
�
∫
�
(
�������
)
�������
=-
�
�
ln|2-3sinx|+c. 
3-misol. 
∫
2
�
𝑒
�
dx=
∫
(2
𝑒
)
�
𝑑𝑥
=
��
�
����
+
𝑐
=
�
�
�
�
�����
+
𝑐
.
4-misol. 
∫
��
√����
�
=
�
√�
∫
�
(
√��
)
�
(
�
)
�
�
(
��
)
�
=
�
√�
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
√��
√�
+c. 
5-misol. 
∫
cos(
𝑙𝑔𝑥
)
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑙𝑛
10
∫ 𝑐𝑜𝑠
(
𝑙𝑔𝑥
)
𝑑
(
𝑙𝑔𝑥
) =
𝑙𝑛
10
𝑠𝑖𝑛
(
𝑙𝑔𝑥
) +
𝑐
.
3. O'rniga qo'yish usuli. 

---

71
Август 2020 17-қисм
Тошкент
O'rniga qo'yish usuli bilan integrallashning mohiyati shundan iboratki, integrallash 
o'zgaruvchisi xni yangi t o'zgaruvchi bilan qulay almashtirib, berilgan integralni ancha soddaroq 
integralga yoki jadval integraliga keltiradi. 
Masalan, 
∫ 𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥
integralda x o'zgaruvchini 
x=
φ
(t), dx=
φ
'(t)dt 
formula bo'yicha t o'zgaruvchi bilan almashtiraylik. U holda: 
∫ 𝑓
(
𝑥
)
𝑑𝑥
=
∫ 𝑓〔𝜑
(
𝑡
)]
𝜑′
(
𝑡
)
𝑑𝑡
.
1-misol. 
∫ 𝑥�
3
−
2
𝑥
�
�
𝑑𝑥
. 
√
3
−
2
𝑥
�
�
=
𝑡
deymiz. U holda 3-2
𝑥
�
=
𝑡
�
. 
Ikki tomonni differensiallaymiz: -8
𝑥
�
dx=2tdt, 
𝑥
�
𝑑𝑥
=
−
�
�
𝑡𝑑𝑡
.
Demak,
∫ 𝑥
�
√
3
−
2
𝑥
�
𝑑𝑥
=
−
�
�
∫ 𝑡
�
𝑑𝑡
=
−
�
�
∗
�
�
�
+
𝑐
=
−
�
��
�
(3
−
2
𝑥
�
)
�
+
𝑐
(bu yerda 
𝜑
(
𝑥
) =
√
3
−
2
𝑥
�
) 
4. Bo'laklab integrallash usuli. 
Ma'lumki, agar u(x) va v(x)lar x o'zgaruvchining birorta differensiallanuvchi funksiyalari 
bo'lsa, u holda: 
d(uv)=du*v+dv*u va udv=d(uv)-vdu 
Keyingi tenglikni har ikki tomonini integrallab, 
∫ 𝑢𝑑𝑣
=
∫ 𝑑
(
𝑢𝑣
)
− ∫ 𝑣𝑑𝑢
ni yoki 
∫ 𝑢𝑑𝑣
=
𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
tenglikni hosil qilamiz. Bu ohirgi formulaga bo'laklab integrallash formulasi deyiladi. 
Bo'laklab integrallashning mohiyati shundan iboratki, berilgan integralni hisoblashda 
integral ostidagi f(x)dx ifodani u*dv ko'paytma shaklida tasvirlab va 
∫ 𝑢𝑑𝑣
=
𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
formulani tadbiq qilib, berilgan
∫ 𝑢𝑑𝑣
integralni 
∫ 𝑣𝑑𝑢
jadval integrali yoki osongina 
olinadigan integral bilan almashtiramiz. Buni quyidagi misol orqali tushuntiramiz. 
Misol:
∫
(
𝑥 −
1)
𝑙𝑛𝑑𝑥
.
𝑙𝑛𝑢
=
𝑢
, 
𝑑𝑢
=
��
�
deymiz, u holda (x-1)dx=dv, 
𝑣
=
�
�
�
− 𝑥
.
formulaga ko'ra: 
∫
(
𝑥 −
1)
𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
= (
𝑥
�
2
− 𝑥
)
𝑙𝑛𝑥 − ∫
(
𝑥
�
2
− 𝑥
)
𝑑𝑥
𝑥
= (
𝑥
�
𝑥 − 𝑥
)
𝑙𝑛𝑥 −
𝑥
�
4 +
𝑥
+
𝑐
.
Foydalanilgan adabiyotlar: 
1. “Сборник задач по курсу математического анализа”. Берман.Г.Н.
2. “Oliy matematika” uslubiy qo'llanma.

---

(17-қисм)