Blackcurse

Laplasning lokal teoremasi. 
Agar har bir tajribada A hodisaning ro’y berishi ehtimoli r o’zgarmas bo’lib, 
nol va birdan farqli bo’lsa, u holda n ta tajribada A hodisaning rosa k marta ro’y 
berish ehtimoli R
n
(k) taqriban (n qancha katta bo’lsa, shuncha aniq). 
   
 
2
2
2
1
1
)
(
1
x
e
npq
x
npq
у
−
⋅
=
=
π
ϕ
 

---

 
32
funktsiyaning 
npq
np
k
x
−
=
 dagi qiymatiga teng. 
 
2
2
2
1
)
(
x
e
x
−
=
π
ϕ
 funktsiya 
x
 argumentining musbat qiymatlariga mos 
qiymatlaridan tuzilgan jadvallar ehtimollar nazariyasiga oid ko’plab adabiyotlarda 
keltirilgan. Shuningdek, 
ϕ
(
x
) funktsiya juft, ya’ni 
ϕ
(-
x
) = 
ϕ
(
x
) bo’lganligi uchun 
bu jadvallardan argumentning qiymatlari manfiy bo’lganda ham foydalaniladi. 
Shunday qilib, n ta erkli sinashda A hodisaning rosa k marta ro’y berish 
ehtimoli taqriban quyidagiga teng. 
)
(
1
)
(
x
npq
k
P
n
ϕ
≈
  
Misol
.
 Agar har bir sinashda A hodisaning ro’y berish ehtimoli 0,2 ga teng 
bo’lsa, 400 ta sinashda bu hodisaning rosa 80 marta ro’y berish ehtimolini toping. 
Echish.
 
n=400, k=80, p=0,2, q-0,8. 
 
   
)
(
8
1
)
(
8
,
0
2
,
0
400
1
)
80
(
400
x
x
P
ϕ
ϕ
≈
⋅
⋅
≈
 
   
0
8
2
,
0
400
80
=
⋅
−
=
−
=
npq
np
k
x
 
jadvaldan 
ϕ
(0)=0,3989 ekanligini aniqlaymiz.  
U holda, izlanayotgan ehtimollik 
   
0498
,
0
8
3989
,
0
)
80
(
400
≈
≈
P
 
Boshqa misol
.
 Merganning o’q uzishda nishonga tekkizish ehtimoli r=0.75. 
Mergan 10 ta o’q uzganda 8 ta o’qni nishonga tekkizish ehtimolini toping. 
Echish. n=
10, k=8, p=0.75, q=0.25. 
 
Laplasning asimptotik formulasidan foydalanamiz. 
   
)
8
(
10
P
)
(
7301
,
0
)
(
25
,
0
75
,
0
10
1
х
х
ϕ
ϕ
⋅
≈
⋅
⋅
≈
 
х
 ning masala ma’lumotlari bo’yicha aniqlanadigan qiymatini hisoblaymiz: 

---

 
33
 
36
,
0
25
,
0
75
,
0
10
75
,
0
10
8
≈
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
npq
np
к
х
 
jadvaldan 
ϕ
(0,36)=0,3789 
 
Izlanayotgan ehtimol: 
   
 
 
R
10
 (8)=0,7301
.
0,3739 
≈
0,273 
Bernulli formulasi boshqa natijaga, chunonchi 
   
 
 
R
10
 (8)=0,282 
natijaga olib keladi. Javoblarning bunchalik katta farq qilishi bu misolda n kichik 
qiymatga egaligi bilan tushuntiriladi. 
   
 
 
Laplasning integral teoremasi. 
Teorema
. 
Agar har bir sinashda A hodisaning ro’y berish ehtimoli r 
o’zgarmas bo’lib, nol va birdan farqli bo’lsa, u holda n ta sinashda A hodisaning k
1
 
dan k
2
 martagacha ro’y berish ehtimoli – R
n
(k
1
,k
2
)
 
taqriban quyidagi aniq 
integralga teng:
 
≈
)
,
(
2
1
k
k
P
n
∫
−
=
−
,
,
,
2
)
(
)
(
2
1
,
,,
2
x
x
y
x
x
dy
e
φ
φ
π
, 
bu erda 
npq
np
k
x
ва
npq
np
k
x
−
=
−
=
2
,,
1
,
 
∫
∞
−
=
0
2
2
2
1
)
(
dy
е
х
Ф
у
π
 
Maxsus jadvallarda yuqoridagi integralning x=5 gacha bo’lgan qiymatlari 
berilgan, chunki x>5 lar uchun F(x)=0,5 deb olish mumkin. F(x) funktsiya 
ko’pincha Laplas funktsiyasi deb ataladi. 
Laplas funktsiyasi jadvalidan foydalanish uchun uni quyidagicha 
o’zgartiramiz. 

---

 
34
 
≈
)
,
(
2
1
k
k
P
n
=
−
=
+
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
,,
,
2
2
,
,,
2
2
0
0
2
2
0
0
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
х
х
f
f
х
f
f
df
df
df
x
df
e
e
e
e
π
π
π
π
 
 
)
(
)
(
,
,,
x
Ф
x
Ф
−
=
  
Bu jadvallardan argumentning manfiy qiymatlari uchun ham F(x) 
funktsiyaning toqligini hisobga olib, (ya’ni F(-x) = F(x)) foydalanamiz.  
Shunday qilib, n ta erkli sinashda A hodisaning k
1 
dan k
2
 martagacha ro’y 
berishi ehtimoli 
)
(
)
(
)
,
(
,
,,
2
1
x
Ф
x
Ф
k
k
P
n
−
≈≈
 
npq
np
k
x
ва
npq
np
k
x
−
=
−
=
2
,
,
1
,
 
Misol. 
Detalni texnikaviy nazorat bo’limi tekshirmagan bo’lish ehtimoli 
r=0,2. Tasodifiy olingan 400 ta detaldan 70 tadan 100 tagachasini nazorat bo’limi 
tekshirmagan bo’lish ehtimolini toping. 
Echish. 
r=0.2. q=0,8. n=400, k
1=
70, k
2=
100. 
75
,
2
8
,
0
2
,
0
400
2
,
0
400
100
25
,
1
8
,
0
2
,
0
400
2
,
0
400
70
,,
,
=
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
x
x
 
Shunday qilib, 
   
 
R
400
 (70,100) = 
φ
(2,5)- 
φ
(-1,25) = 
φ
(2,5)+ 
φ
(1,25) 
jadvaldan 
φ
(2,5) = 0,4938; 
φ
(1,25) = 0,3944  
Izlanayotgan ehtimol 
   
R
400
 (70,100)=0,4938+0,3944=0,8882 
 
   Puassonning 
limit 
teoremasi. 
R
n
(k) ehtimolning 

---

 
35
)
1
(
;
)
1
(
)
(
q
p
p
p
k
P
k
n
k
k
n
n
C
=
−
−
=
−
 
ifodasi formal ravishda uchta n, p va q o’zgaruvchilarning funktsiyasini ifoda 
qiladi. Aytaylik, k tayinlangan, n va p esa o’zgaradi deb faraz qilamiz. Aniqrog’i n 
va p lar mos holda cheksizlikka va nolga shunday intiladiki, 
λ
 = np miqdor 
chegaralangan bo’lib qolaveradi: 
λ
 = np, 
λ
 = Const 
Bunday holda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi. 
Teorema.
 
Yuqorida ko’rsatilgan shartlar bajarilganda ushbu 
λ
λ
−
≈
e
k
k
P
k
n
!
)
(
 munosabat o’rinli bo’ladi. 
Misol
. 
Qo’shma korxona iste’molchiga 5000 ta sifatli mahsulot jo’natadi. 
Mahsulotning yo’lda shikastlanish ehtimoli 0,001 ga teng bo’lsa, ikkita yoki undan 
ortiq mahsulotning shikastlanishi ehtimolini toping. 
Echish.
 
shikastlangan mahsulotlar sonini m desak, izlanayotgan ehtimol R
5000
 
(m
≥
2) bo’lib, u quyidagiga teng bo’ladi: R
5000
 (m
≥
2) = R
5000
 (2)+ R
5000
 
(3)+...+R
5000
  
(5000)=1-( R
5000
(0)+ R
5000
(1)) 
bizning xolda sinashlar soni katta va hodisa ro’y berish ehtimoli 0 ga yaqin 
bo’lganligi uchun Puasson teoremasidan foydalanamiz. 
   
λ
 = pn = 5000
.
0,001= 5 ekanligini e’tiborga olsak: 
;
!
0
5
)
0
(
5
5
0
5000
−
−
=
⋅
=
e
e
P
 
5
5
1
5000
5
!
1
5
)
1
(
−
−
=
⋅
=
e
e
P
 
U holda, R
5000
(m
≥
2) = 1-e
-5
-5e
-5 
≈
0,9596  
Erkli sinashlarda nisbiy chastotaning o’zgarmas ehtimoldan chetlanish 
ehtimolini hisoblaymiz. 
Faraz qilaylik, A hodisaning ro’y berishi ehtimoli o’zgarmas r ga (0
teng bo’lgan n ta erkli sinash o’tkazilayotgan bo’lsin.
n
m
 nisbiy chastotaning 
o’zgarmas r ehtimoldan chetlanishi absolyut qiymati bo’icha avvaldan berilgan 
ε
>0 

---

 
36
sondan katta bo’lmaslik ehtimolini topishni o’z oldimizga maqsad qilib qo’yaylik, 
ya’ni  
ε
≤
−
p
n
m
 
tengsizlikning ro’y berish ehtimolini topamiz. Bu ehtimolni bunday 
belgilaymiz: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
−
ε
p
n
m
P
 
Yuqoridagi tengsizlikni unga teng kuchli bo’lgan  
 
ε
ε
≤
−
≤
−
n
np
m
 
 
tengsizlik bilan almashtiramiz. Uni musbat 
pq
n
 ko’paytuvchiga ko’paytirsak  
 
pq
n
npq
np
m
pq
n
ε
ε
−
≤
−
 
 
Laplasning integral teoremasidan foydalanib,  
 
pq
n
x
ва
pq
n
x
ε
ε
=
−
=
,
,
,
 
 
deb olib, quyidagini hosil qilamiz: 
 
 
e
pq
n
npq
np
m
pq
n
P
pq
n
pq
n
∫
−
≈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≤
−
≤
−
ε
ε
π
ε
ε
2
1
∫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
−
−
ε
ε
φ
π
pq
n
Z
Z
pq
n
dz
e
dz
0
2
2
2
2
2
2
2
 
Nihoyat, qavs ichidagi tengsizliklarni ularga teng kuchli bo’lgan dastlabki 
tengsizlik bilan almashtirib, quyidagini hosil qilamiz: 

---

 
37
 
   
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
≤
−
pq
n
p
n
m
P
ε
φ
ε
2
 
Xulosa qilib aytganda.  
ε
≤
−
p
n
m
 
tengsizlikning ro’y berish ehtimoli taqriban Laplas funktsiyasining 
pq
n
x
ε
=
 dagi 
ikkilangan qiymatiga teng ekan.