Boyl-Mariott qonuni

Ideal gaz qonunlariga doir masalalar qanday yechiladi?
1-masala: NBA basketbol toʻpida necha mol modda miqdori bor?
NBA basketbol toʻpi \[1{,}54 \text{ atm}\] bosim va \[0{,}119\text{ m}\] radiusga ega. Toʻp ichidagi havoning temperaturasi \[25^o \text{ C}\] (xona haroratiga yaqin) deb oling.
a. NBA toʻpi ichidagi havoning modda miqdorini toping.
b. NBA toʻpi ichidagi havo molekulalari sonini toping.
Masalani yechishni ideal gaz qonuni formulasidan foydalanishdan boshlaymiz. Modda miqdorini topish uchun ideal gaz qonunining molyar koʻrinishidan foydalanamiz.
ʻ\[PV=nRT \quad \text{(ideal gaz qonuni formulasining molyar koʻrinishidan foydalaning)}\]
\[n=\dfrac{PV}{RT} \quad \text{(modda miqdorini toping)}\]
ʻ\[n=\dfrac{PV}{(8{,}31 \dfrac{J}{K\cdot mol})T} \quad \text{(qaysi universal gaz doimiysidan foydalanish haqida oʻylab oling)}\]


TERMODINAMIKANING IKKINCHI QONUNI
Karateodori prinsipi. Tabiatda o‘z-o‘zidan boruvchi jarayonlarning yo‘nalishi qonuniyatlarini termodinamikaning ikkinchi qonuni ko‘rsatib beradi. Termodinamikaning birinchi qonuni sistemada turli energiyalarning ekvivalentligini hamda sistema qabul qilayotgan yoki berayotgan issiqlik, bajarilayotgan ish va ichki energiyaning o‘zgarishi orasidagi bog‘lanishlarni ko‘rsatib, har qanday jarayonlarning energetik balansini o‘rnatsada, bu jarayonlarning o‘z-o‘zidan borishi mumkinligi va yo‘nalishi haqida hech qanday ma’lumot bermaydi. Termodinamikaning birinchi qonuniga binoan issiqlikning issiq jismdan sovuq jismga va aksincha o‘tish imkoniyati bir xildir. Ammo tabiatda haqiqatdan ham boruvchi real jarayonlar ma’lum yo‘nalishga ega. Termodinamika ikkinchi qonunidan termodinamik sistemalarda yangi holat funksiyasining mavjudligi kelib chiqadi. Termodinamik jarayonlarning tahlili ularni to‘liq ifodalash uchun termodinamikaning birinchi qonuni kifoya emasligini ko‘rsatdi (birinchi qonunga ko‘ra energiyaning saqlanish qonuniga bo‘ysingan jarayonlargina borishi mumkin). Ammo tajriba ko‘rsitishicha, birinchi qonunga bo‘ysungan va U = Q – W tenglamaga rioya qilgan ayrim jarayonlar amalda bormaydi. Bu esa, sistemada qandaydir no‘malum funksiya yoki holat parametrining mavjudligi haqidagi xulosaga olib keldi. Ushbu parametrning qiymati birinchi qonunga binoan amalga oshirilishi mumkin bo‘lgan turli jarayonlar uchun bir xil emas, bu esa jarayonlarning teng qiymatga ega emasligini ko‘rsatadi. Yangi funksiya Klauzius tomonidan entropiya S deb ataldi. Aslida termodinamikaning ikkinchi qonuni issiqlik mashinalari uchun ta’riflangan va ularning ishida ushbu qonun ayniqsa yaqqol ko‘rinadi. Shu sababdan 28 hozir ham termodinamika ikkinchi qonunini qarab chiqish issiqlik mashinalarini tahlil qilishdan boshlanadi (Karno sikli). Bu esa, ikkinchi qonun faqat issiqlik mashinalari ishini ifodalaydigan xususiy qonuniyat degan fikr tug‘diradi. Aslida esa, bu tabiatning umumiy qonuni bo‘lib, energiyaning saqlanish qonunidan keyingi fundamental qonundir. Termodinamikaning ikkinchi qonunini issiqlik mashinalarini tahlil qilmasdan ham chiqarish mumkin. Termodinamik sistemada yangi holat funksiyasi borligini Karateodori prinsipi (ayrim holatlarga adiabatik yetisha olmaslik) yaxshi tushuntiradi. Karateodori prinsipidan faqat yangi holat funksiyasi borligi emas, balki bu funksiyaning issiqlik bilan bog‘liqligi ham kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar sistema 1-holatdan 2- holatga issiqlik yutish bilan o‘tgan bo‘lsa, nima uchun boshlang‘ich holatga issiqlik almashmasdan kela olmaydi? Issiqlik holat funksiyasi emas, balki u energiya uzatishning xilidir. Sistemaga issiqlik ko‘rinishidagi ma’lum miqdordagi energiya uzatilgan bo‘lsa, unda sistemadan xuddi shu miqdordagi energiyani ish ko‘rinishida olish va shu bilan sistemani avvalgi holatiga keltirish mumkindek tuyuladi. Ammo Karateodori prinsipi buning mumkin emasligini, ya’ni Tomson ta’rifiga zid jarayonni sodir bo‘la olmasligini ko‘rsatadi. Demak, issiqlikning o‘zi holat funksiyasi bo‘lmasa ham, sistemaga berilgan issiqlik holat funksiyasini, ya’ni entropiyani o‘zgartiradi. Entropiyani esa sistemaga issiqlik uzatmasdan turib avvalgi qiymatiga keltirib bo‘lmaydi. Bundan entropiyaning o‘zgarishi sistemaga berilayotgan issiqlikning funksiyasi ekanligi S = f(Q )kelib chiqadi. Karno sikli va entropiya. Termodinamik jarayonlarni to‘liq tushuntirish uchun energiyaning saqlanish qonuni kifoya qilmaydi. Tajriba ko‘rsatishicha, termodinamikaning 1-qonuniga bo‘ysungan ayrim jarayonlarni amalga oshirib bo‘lmaydi. Buning sababi sistemada yana qandaydir holat parametrlarining mavjudligi bo‘lishi mumkin. Klauzius bu yangi funksiyani S entropiya deb atadi. Termodinamikaning 2-qonuni va entropiya tushunchasi issiqlik mashinalarining ishini tahlil qilishda yaqqol ko‘rinadi, Shuning uchun bu qonun avvalambor issiqlik mashinalariga taalluqli bo‘lgan (Karno sikli). Karno siklining tahlili bizga 29 termodinamika 2-qonunining analitik ifodasini beradi va entropiya tushunchasining tub ma’nosini anglashga olib keladi. Termodinamika 2-qonunining o‘rganilishi eng murakkab bo‘lgan qonunlarga kiritilishining qator sabablari mavjud. Ulardan birinchisi shundan iboratki, termodinamikaning 2-qonunini avval ochish va qandaydir mulohaza yuritish, ya’ni issiqlik mashinalarining xossalari haqidagi postulat ko‘rinishida ta’riflash va undan xulosa sifatida yangi holat funksiyasi – S entropiyaning mavjudligini keltirib chiqarish kerak edi. Termodinamika 2-qonunining ta’riflarining hech birida entropiya haqida biron so‘z yo‘q. Termodinamika ikkinchi qonuni tub ma’nosining, ya’ni yangi holat funksiyasining fanga kiritilishi boshlang‘ich postulatdan ancha uzun mulohazalar yuritish orqali amalga oshiriladi. Postulatning o‘zidan esa yangi holat funksiyasining mavjudligi haqida xulosa chiqarib bo‘lmaydi. Bundan tashqari, birinchi qarashda bir-biriga umuman o‘xshamagan qator ta’kidlashlar borki, ularning hammasi o‘zaro ekvivalent bo‘lib, termodinamika ikkinchi qonunining ta’rifi bo‘la oladi. Bunday holat kelib chiqishining sababi, haqiqatda ham boshlang‘ich postulatlarga nisbatan ulardan kelib chiqadigan Q = TdS (1) xulosaning ahamiyati yuqoriroq ekanligidadir. Entropiyani bevosita o‘lchab bo‘lmaslik qo‘shimcha qiyinchiliklarni yaratadi.

Ideal gaz entropiyasining o‘zgarishlarini o‘rganish orqali entropiya bilan sistemaning tartibsizlik darajasi orasidagi bog‘liqlik haqidagi tasavvurlarni faollashtirish. Ideal gazda ushbu bog‘lanishni tahlil qilish va tartibsizlikning turli ko‘rinishlarini entropiyaga qo‘shgan xissasini ko‘rsatib berish. Avvalambor quyidagi tenglamani tahlil qilib olish kerak: S = CVlnT+ RlnV (1) Termodinamikaning 1-qonunining xususiy holi uchun Q =dU+pdV, QV=dU (o‘zgarmas hajmda kengayish ishi bajarilmaydiva jismga uzatilgan issiqlik miqdori uni ichki energiyasini oshiradi), o‘z navbatidaidealgazningo‘zgarmas hajmdagi chin molyar issiqlik sig‘imi ichki energiya bilan CV =(∂U/∂T)V xususiy hosila orqali bog‘liqlik tenglamasidan dU=CVdT kelib chiqadi, termodinamikaning 2-qonunidan Q=TdS ekanligini hisobga olsak TdS=CVdT+pdV tenglama hosil bo‘ladi. Ushbu tenglamadagi bosim o‘rniga ideal gaz holat tenglamasi bo‘yicha p=RT/V qiymatni qo‘yib, tenglamaning 2 tarafini T ga bo‘lib yuborsak dS = CV(dT/T) + R(dV/V) (2) ni olamiz. (2) tenglamada qavs ichidagi ifodalarni logarifmlab yuborsak (1) tenglama kelib chiqadi. 3-seminarda ta’kidlaganimizdek, ideal gazning issiqlik sig‘imi molekulalarning mexanik erkinlik darajalari soni bilan CV=n(1/2)∙R tenglama orqali bog‘langan (bu yerdan – erkinlik darajasi). Bir atomli gazlarda faqat ilgarilanma harakat turi bo‘lib, u Dekart koordinatalari bo‘yicha 3 ta erkinlik darajasiga ega. Bitta erkinlik darajasiga javob 33 beruvchi energiya ½ Rga teng, shunda bir atomli gazning issiqlik sig‘imlari CV= (3/2) R va Cp= CV+ R = (5/2) R bo‘ladi. Ikki atomli gazlar ilgarilanma harakatning uchta erkinlik darajalari bilan birga aylanma harakatning ikkita erkinlik darajalariga ham egadir (n = 5): . CV= (5/2) R va Cp= CV+ R = (7/2) R bo‘ladi. Uch va undan ko‘p atomli gazlarning molekulalari to‘g‘ri Chiziqli bo‘lmasa uchinchi aylanma harakat erkinlik darajasini qabul qiladi: CV= (6/2) R = 3R va Cp= (8/2) R= 4R ga teng bo‘lib qoladi. Ilgarilanma (IHT), aylanma (AHT) harakatlar tartibsizliklarining va holat (HT) tartibsizligining entropiyaga qo‘shgan xissalari yuqorida keltirilgan muloxazalar yordamida hisoblanadi