Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha

Ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo’yicha yasash.


Ikkinchi tartibli chiziq dekart reperida (57.1) umumiy tenglamasi bilan berilgan bo’lsin. Uni yasash uchun tenglamasini oldingi paragrafda bayon qilingan usullar bo’yicha soddalashtiramiz:
1) (57.1) tenglamada a₁₂0 bo’lsa, chiziqning
λ² – (a₁₁+a₂₂)λ+a₁₁a₂₂ – a²₁₂=0
2) tgα₁= formula bo’yicha tgα₁ ni, so’ngra
sin α₁=
ni hosil qilamiz. Bu bilan reperni α₁ burchakka burishdan hosil qilingan ( ) reperning koordinatavektorlari aniqlanadi:

3) Yangi reperda chiziqning tenglamasi
λ₁х`<sup>2</sup>+λ<sub>2</sub>y`²+2a`<sub>10</sub> x`+2a`<sub>20</sub> y`+a₀₀=0 (57.11)
ko’rinishda bo’lib, bunda a`<sub>10</sub>, a`₂₀ koeffitsiyentlar ushbu formulalardan topiladi: B` reperning koordinatalariboshi ni 53-§ dagi (*) formuladan topiladigan O` nuqtaga ko’chirish bilan B` reperdan B`` reperga o’tamiz. B`` reperda chiziqning tenglamasi kanonik ko’rinishga keladi. Agar (57.1) tenglamada a₁₂=0 bo’lsa, soddalashtirish koordinatalar boshini ko’chirishdan iborat, xolos. Bu ishlarni misollarda ko’ramiz.
1 – m i s o l. Chiziqning ushbu x²+6xу+у²+6x+2у – 1=0 tenglamasini kanonik ko’rinishga keltirib, chizmasini yasang.
Ye ch i sh. Bu yerda: a₁₁=1, a₁₂=3, a₂₂=1, a₁₀=3, a₂₀=1, a₀₀= –1. a₁₂=30; berilgan tenglamani kanonik holda yozish uchun quyidagi ishlarni bajaramiz:
1) xarakteristik tenglamani tuzamiz: λ₂ – 2 λ – 8=0, λ_1,2=1
2) tgα₁= ,
sinα₁=
3) ( ) reperni α₁=45⁰ burchakka burishdan ( ) reper hosil bo’ladi, uning koordinata vektorlari:

4. 
   a`<sub>10</sub>=a<sub>10</sub>cos α <sub>1</sub>+a<sub>20</sub>sin α <sub>1</sub>, a`₂₀= – a₁₀sin α ₁+a₂₀cos α ₁ formulalar bo’yicha a`<sub>10</sub>, a`₂₀ koeffitsiyentlarni topamiz:
   

a`<sub>10</sub>= a`₂₀=


B` reperda chiziqning tenglamasi:

5. 
   Bu tenglamani koordinatalar boshi O ni ko’chirish bilan soddalashtiramiz. Buning uchun tenglamaning chap tomonidagi hadlardan x`, y` ga nisbatan to’la kvadratlar ajratamiz;
   

Chiziqning tenglamasi kanonik ko’rinishga keladi:
4X ² – 2Y ²=2 yoki
Bu yerda a= giperbolaning kanonik tenglamasi hosil qilinadi. 105 – chizmada bu giperbola yasalgan.
2 – m i s o l. 4x² – 4xy+y² – 2x – 14y+7=0.
Ye ch i sh. Bu yerda: a₁₁=4, a₁₂= – 2, a₂₂=1, a₁₀= –1,
a₂₀= –7, a₀₀=7.
1) xarakteristik tenglama λ² –5 λ=0, ildizlari:
λ₁=0, λ₂=5;
2) tg α ₁=
3) ( ) reperni tg α₁=2 dan aniqlanadigan α₁ burchakka burishdan hosil bo’ladigan ( ) reperning koordinata vektorlari:

4) a`<sub>10</sub>= –3 B` reperda chiziqning tenglamasi:

5) endi koordinatalar boshini ko’chiramiz. Bu tenglamaning chap tomonidagi hadlardan y` ga nisbatan to’la kvadrat ajratamiz:
Chiziqning O ni O’( ) nuqtaga ko’chirishdan hosil bo’lgan ( ) reperdagi tenglamasi: yoki
Bu tenglama 106-chizmada tasvirlangan parabolani ifodalaydi.


3 – m i s o l. 9x²+16y² – 24xy+30x – 40y – 25=0
Ye ch i sh. Bu yerda: a₁₁=9, a₁₂= – 12, a₂₂=16, a₁₀=15, a₂₀= –20, a₀₀= – 25

1. 
   chiziqning xarakteristik tenglamasi:
   

λ² –25 λ=0λ₁=25, λ₂=0;
2) tgα₁=
3) ( ) reperning koordinata vektorlari,
4) a`<sub>10</sub>=25, a`₁₀=0 chiziqning tenglamasi ko’rinishda bo’ladi. Bundan
5) koordinatalar boshi O’ ni formulalar bo’yicha
O`(–1,0) nuqtaga ko’chirsak, chiziq tenglamasi X² – 2=0 ko’rinishini oladi. Bu tenglama ordinatalar o’qiga parallel ikki to’g’ri chiziqni aniqlaydi (107 –chizma)