Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi (klassifikatsiyasi).


Yuqoridagi qaralgan (I, II, III) ko’rinishdagi tenglamalarni mufassalroq tekshiramiz.
I. λ₁x²+λ₂y₂+a``<sub>00</sub>=0.
I tenglamada λ<sub>1</sub>0, λ<sub>2</sub>0, lekin a``₀₀ – ixtiyoriy. Quydagi ikki hol bo’lishi mumkin:
a) a``<sub>00</sub>0. I dan:
(58.1)
Agar λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub> bir xil ishorali, a``₀₀ esa ular bilan qarama – qarshi ishorali bo’lsa, u holda >0, >0.
Endi belgilashni kiritsak, (58.1) dan

ni, ya’ni ellipsning kanonik tenglamasini hosil qilinadi.
Agar λ₁, λ₂, a``<sub>00</sub> ning uchvlvsi ham bir xil ishorali bo’lsa, u holda <0, <0, bu yerda belgilash kiritsak, tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamani qanoatlantiruvchi bita ham haqiqiy nuqta mavjud emas, lekin bu tenglama ellips tenglamasiga o’xshashligi sababli, u mavhum ellipsni aniqlaydi, deb aytiladi. Agar λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub> qarama – qarshi ishorali va a``₀₀0 bo’lsa, u holda va lar qarama – qarshi ishorali bo’ladi. >0, lekin <0 bo’lib, ularni mos ravishda a² va – b² deb belgilasak, (58.1) tenglama ko’rinishda bo’lib, bu giperbolaning kanonik tenglamasidir; xudi shunga o’xshash, <0, >0 bo’lsa, ularni ham mos ravishda – a² va b² deb belgilasak, (58.1) tenglama ushbu ko’rinishni oladi: bu ham giperbolaning kanonik tenglamasidir.
b) a``₀₀=0 bo’lsin. U holda
(58.2)
λ₁, λ₂ qarama – qarshi ishorali bo’lsa, tegishli belgilashni kiritish bilan (58.2) ni ushbu ko’rinishda yozish mumkin:
(58.3)
(58.3) bu tenglamalar koordinatalar boshida kesishuvchi ikkita haqiqiy to’g’ri chiziqni aniqlaydi. Agar λ₁, λ₂ bir xil ishorali, masalan, λ₁<0, λ₂<0 bo’lsa, u holda belgilashni kiritish bilan (58.2) ni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:

bu tenglamalarning har biri birinchi darajali bo’lgani uchun ular to’g’ri chiziqni aniqlaydi, lekin bu ikki to’g’ri chiziq faqat bita haqiqiy nuqtaga egadir (koordinatalar boshi). Shuning uchun ularni bita haqiqiy nuqtada kesishuvchi ikkita mavhum to’g’ri chiziq tenglamasi deb aytish mumkin. Shunday qilib, ikkinchi tartibli γ chiziqning (57.6) xarakteristik tenglamasining ildizlari λ₁≠0, λ₂≠0 bo’lsa, quydagi besh tur chiziq hosil bo’ladi: ellips, mavhum ellips, giperbola, kesishuvchi mavhum ikki to’g’ri chiziq, kesishuvchi haqiqiy ikki to’g’ri chiziq.
2. λ₂y²+2a`<sub>10</sub>x=0
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarga o’tamiz. II tenglamada λ<sub>2</sub>≠0, a`₁₀≠0 bo’lgani uchun uni quydagicha yozib olamiz: belgilashni kiritsak, y²=2px, bu parabolaning kanonik tenglamasidir.
3. λ₂у²+a``<sub>00</sub>=0
tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni tasniflashga o’tamiz. Bu tenglamada λ<sub>2</sub>≠0, a``₁₀ – har qanday son. Quyidagi hollar bo’lishi mumkin.

1. 
   a``<sub>00</sub>≠ 0·λ<sub>2</sub> bilan a``₀₀ har xil ishorali bo’lsa, >0 bo’ladi.
   

Tenglamani faraz qilib,
y²=a² yoki (y – a)(y+a)=0
ga keltiramiz. Bu tenglama esa o’zaro parallel ikki to’g’ri chiziqni aniqlaydi. λ₂ bilan a``<sub>0</sub> bir xil ishorali, ya’ni λ<sub>2</sub>>0, a`<sub>00</sub>>0 (λ<sub>2</sub><0, a``₀₀<0) bo’lgan holda
IIIy²= – a² yoki (y – ia)(y+ia)=0,
bu tenglama ikkita mavhum parallel to’g’ri chiziqni aniqlaydi, deb yuritiladi.
b) a``₀₀=0. U holda IIIλ₂y²=0 va λ₂0 bo’lgani uchun y²=0 yoki y=0, y=0 ikki karra olingan to’g’ri chiziq hosil qilinadi. Shunday qilib, III tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq quydagi uch turga bo’linadi: haqiqiy parallel ikki to’g’ri chiziq, mavhum parallel ikki to’g’ri chiziq, ustma – ust tushuvchi ikki to’g’ri chiziq.
I, II, III tenglamalar bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq quyidagi to’qqizta turga bo’linadi:

Kanonik tenglamalar	Chiziqlarning nomlari
1	2
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.	ellips mavhum ellips giperbola kesishuvchi ikki to’g’ri chiziq nuqta (koordinata boshida kesishuvchi mavhum ikki to’g’ri chiziq) parabola turli parallel ikki to’g’ri chiziq mavhum parallel ikki to’g’ri chiziq ustma – ust tushgan ikki to’g’ri chiziq