Chiziqli tenglamalar sistemasi haqida tushuncha

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI HAQIDA TUSHUNCHA.
Reja:

1. 
   Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziq.
   
2. 
   Ikkichi tartibli egri chiziqning to`g`ri chiziq bilan kesishishi.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli chiziqni uning tenglamasi bo’yicha yasash.
   

Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi
Tekislikda biror affin (yoki dekart) reperda koordinatalari
( 57.1)
tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deb atalishi ma’lum¹ (20–§). Bunda a₁₁, a₁₂, a₂₂, a₁₀, a₂₀, a₀₀ koyeffitsiyentlar haqiqiy sonlar bo’lib, a₁₁, a₁₂, a₂₂ lardan kamida bittasi noldan farqlidir (bu shartni bundan buyon ko’rinishida yozamiz).
Biz 40 – 55 – § larda uchta chiziq ellips, giperbola va parabolani o’rgandik, bu chiziqlar ham ikkinchi tartibli chiziqlardir, chunki (57.1) tenglamada bo’lib, qolgan barcha koeffitsiyentlar nol bo’lsa, u ellipsning kanonik tenglamasi, shu shartlarda yana bo’lsa, (57.1) tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi, a₁₀=r; a₂₂=1 bo’lib, qolgan koeffitsiyentlar nol bo’lsa, (57.1) tenglama parabolaning kanonik tenglamasidir.
Quydagi tabiiy savol tug’iladi: tekislikda ko’rilgan bu chiziqlardan boshqa yana ikkinchi tartibli chiziqlar bormi? Bu savolga quyida javob berishga harakat qilamiz. Avvalo shuni ta’kidlaymiz: 20–§ dan bizga ma’lumki, chiziqning tartibi koordinatalar sistemasining olinishiga bog’liq emas. Bundan foydalanib, koordinatalar sistemasini tegishlicha tanlash hisobiga barcha ikkinchi tartibli chiziqlarni to’la geometrik tavsiflab chiqamiz. Ikkinchi tartibli g chiziq Б = dekart reperida (57.1) umumiy tenglamasi bilan ifodalangan bo’lsin. Shunday reperni tanlaymizki, unga nisbatan g chiziqning (57.1) tenglamasi mumkin qadar sodda – «kanonik» ko’rinishga ega bo’lsin, ya’ni

1. 
   o’zgaruvchi koordinatalar ko’paytmasi qatnashgan had bo’lmasin;
   
2. 
   birinchi darajali hadlar soni eng oz bo’lsin (iloji bo’lsa, ular butunlay qatnashmasin);
   
3. 
   mumkin bo’lsa, ozod had qatnashmasin.
   

Agar (57.1) tenglamada a₁₂≠0 bo’lsa, soddalashtirishni quydagicha bajaramiz. B reperning o’qlarini 0 nuqta atrofida ixtiyoriy  burchakka burib, yangi Б`= Dekart reperini hosil qilamiz. Б reperdan Б`reperga o’tish formulalari (15–§)
(57.2)
dan x,y ni (57.1) ga qo’ysak va o’xshash hadlarini ixchamlasak, g chiziqni (57.1) tenglamasi B`reperda ushbu ko’rinishni oladi:
(57.3)
бунда:
a`₁₁= a₁₁cos²+2a₁₂cos sin+a₁₂sin²,
a`<sub>12</sub>= – a<sub>11</sub>sin cos+ a<sub>12</sub>cos<sup>2</sup>– a<sub>12</sub>sin<sup>2</sup>+ a<sub>22</sub>sin cos, (57.4)
a`₂₂= a₁₁sin²–2a₁₂sin cos+a₂₂cos²,
a`<sub>10</sub>= a<sub>10</sub>cos+ a<sub>20</sub>sin, a`₂₀= – a₁₀sin+ a₂₀cos, a`<sub>00</sub>=a<sub>00</sub>.
(57.4) belgilashlardan ko’rinadiki, (57.3) tenglamadagi a`₁₁, a`<sub>12</sub>, a`₂₂ koeffitsiyentlar (57.1) tenglamadagi a₁₁, a₁₂, a₂₂ koefitsiyentlarga va a burchakka bog’liq, shu bilan birga a`<sub>11</sub>, a`₁₂, a`₂₂ ning kamida biri noldan farqli, chunki

 burchakning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni shunday tanlab olamizki, almashtirilgan (57.3) tenglamadagi a`₁₂ koeffitsiyent nolga teng bo’lsin, ya’ni