Davlat ta'lim muassasasi oliy kasbiy ta'lim "Rossiya Federatsiyasi Mudofaa vazirligining Rostov raketa qo'shinlari harbiy instituti"

G ₀ - asosiy va ikkita zaxira tizimlari ishlaydi;
G ₁ - tizimlardan biri (asosiy yoki zaxira) ishlamay qolgan, qolgan ikkita tizim ishlamoqda;
G ₂ - uchta tizimdan ikkitasi muvaffaqiyatsiz tugadi va bitta tizim ishlashga qodir;
G ₃ - asosiy va ikkala zaxira tizimlari muvaffaqiyatsiz tugadi.
3m qiymati tizimning cheksiz ta'mirlash tizimi ekanligini anglatadi (bir vaqtning o'zida uchta ta'mirlash brigadasi ishlaydi).
3l qiymati asosiy yoki birinchi zaxira tizimi yoki ikkinchi zaxira tizimi muvaffaqiyatsiz bo'lishi mumkinligiga mos keladi.
3.3-bo'limda ko'rsatilganidek, tiklangan tizimning ishlash jarayoni Markov tasodifiy jarayondir.
Markov tasodifiy jarayonining yana bir ta'rifini beraylik. Tasodifiy diskret jarayon Markovian deb ataladi, agar har qanday lahzada tizimning barcha holatlarining kelajakdagi ehtimollari faqat hozirgi holatga bog'liq bo'lsa va bu tizim qachon va qanday qilib bu holatga o'tganiga bog'liq bo'lmasa.
Markov tasodifiy jarayoni akademik A.N.Kolmogorov tomonidan taklif qilingan chiziqli differensial tenglamalar tizimi bilan tavsiflanadi. Ma'lum grafikdan foydalangan holda qayta tiklangan ortiqcha tizim uchun differentsial tenglamalar quyidagi qoidalarga muvofiq tuzilgan:

1. 
   differensial tenglamalar soni grafikning holatlar soniga teng;
   
2. 
   tizimning har qanday holatda bo'lish ehtimoli hosilasi bu holat bilan bog'langan strelkalar qancha bo'lsa, shuncha hadlarning algebraik yig'indisiga teng;
   
3. 
   har bir atama tizimni berilgan strelka bo'ylab harakatlantiruvchi hodisalar (nosozliklar yoki tiklashlar) oqimining intensivligining strelkaning kelib chiqishi ehtimoli bo'yicha ko'paytmasiga teng;
   
4. 
   atama "-" belgisiga ega bo'lsa, o'q ma'lum bir holatdan kelib chiqsa; va agar o'q shu holatga yo'naltirilgan bo'lsa, "+" belgisi.
   

Rasmda keltirilgan grafik uchun differentsial tenglamalar tizimini yozamiz. 3.7:


(3,39)

Tenglamalar tizimi (3.39) sonli usullar yoki Laplas o'zgarishlari yordamida yechiladi. Tenglamalar sistemasidagi (3.39) topilishi kerak bo'lgan o'zgaruvchilar P _{i ehtimolliklardir.} ( t ) sistema G _i ( i =0, 1, 2) holatlarida .

Differensial tenglamalar tizimini (3.39) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin, agar A.A.Markovning quyidagi teoremasidan foydalansak: Hodisa oqimlarining barcha intensivliklari (l va m) doimiy bo‘lsa va holat grafigi shunday bo‘lsa, Har bir holat bir-birining holatiga chekli sonli bosqichlarda borishi mumkin, keyin holatlarning cheklovchi ehtimoli mavjud va tizimning boshlang'ich holatiga bog'liq emas.
Bu teoremaga muvofiq, mos ravishda P ₀ ( t ) va P ₁ ( t ) ehtimollik bilan tizim yaxshi holatda ( G ₀ ) va operatsion ( G ₁ ) holatlar nolga teng bo'ladi, ya'ni. ( i =0, 1) va tizimning ishlamaydigan holatda bo'lish ehtimoli P ₂ ( t ) ( G ₂ ) birga teng bo'ladi, ya'ni. . Shuning uchun (3.39) sistema tenglamalarining chap tomonlaridagi hosilalarni nolga tenglashtirish mumkin, ya'ni . Keyin quyidagi shakldagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimini olamiz:


(3.40)

Nemis matematigi Gauss chiziqli tenglamalar sistemasiga kiritilgan barcha tenglamalar chiziqli mustaqil bo‘lganda yechimga ega ekanligini isbotladi. Bu shuni anglatadiki, (3.40) tizim tenglamalarining hech biri ushbu tizimga kiritilgan boshqa tenglamalarning yig'indisi bo'la olmaydi. Olingan tenglamalar tizimi (3.40) chiziqli bog'liqdir. Masalan, birinchi va ikkinchi tenglamalarni qo'shsak, u holda belgilarga to'g'ri kelsa, uchinchi tenglamani olamiz; ikkinchi va uchinchilarning yig'indisi birinchi tenglamani beradi; birinchi va uchinchilarning yig'indisi ikkinchi tenglamani beradi. Shu munosabat bilan biz ikkinchi tenglamani (3.40) tenglamalar tizimidan chiqaramiz va shakldagi normallashtiruvchi tenglamani qo'shamiz:

R ₀ ( t )+ R ₁ ( t )+ R ₂ ( t )=1.

Keyin (3.40) tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

(3.41)

Bu tenglamalar tizimi chiziqli mustaqil va yechimga ega. (3.41) tenglamalar tizimi Kramer qoidasi yordamida quyidagicha yechiladi: tizimni topish ehtimoli. i -holat determinantlar nisbati bilan aniqlanadi:

, i = 0, 1, 2; (3.42)

bu erda D - P _i ( t ) o'zgaruvchilar uchun tenglamalar tizimining (3.41) koeffitsientlaridan tashkil topgan determinant ;

D _{i aniqlovchi} bo‘lib , unda D determinantidagi i - ustuni erkin hadlar ustuni bilan almashtiriladi.

Ko'rib chiqilayotgan misol uchun biz quyidagilarni olamiz:

P₀ P₁ P₂

P₀ P₁ P₂

P₀ P₁ P₂

P₀ P₁ P₂

Tizimning mavjud bo'lish ehtimolini hisoblash i -holat olingan uchinchi tartibli determinantlardan foydalanish hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi.

Qayta tiklanadigan ortiqcha tizimlar uchun ishonchlilik ko'rsatkichlari murakkab ko'rsatkichlar, ya'ni mavjudlik va ishlamay qolish nisbati . (3.42) formuladan foydalanib P _i ( t ) ehtimolliklarini hisoblagandan so'ng , mavjudlik koeffitsientining raqamli qiymatlari aniqlanadi:


,

Bu tizimning yaxshi ish holatida bo'lish ehtimolini baholaydi ( G ₀ ) va operatsion ( G ₁ ) holatlari va ishlamay qolish koeffitsienti:

yoki ,

tizimning ishlamaydigan ( G2 ) holatida bo'lish ehtimolini _aniqlash (tiklash rejimi).

Hisoblashning oxirgi bosqichida mavjudlik koeffitsientining hisoblangan qiymati tengsizlikka muvofiq belgilangan qiymat bilan taqqoslanadi:


(3,43)

Agar (3.43) tengsizlik qanoatlantirilmasa, u holda ortiqchalik koeffitsienti m bittaga oshiriladi va ishonchlilik hisobi takrorlanadi.

Qayta tiklangan ortiqcha tizimlarning ishonchliligini hisoblash muammosini hal qilish metodologiyasi quyidagicha.
Hisoblash uchun dastlabki ma'lumotlar:
1) bron qilish usuli va bron qilish chastotasi m ;
2) mavjudlik koeffitsientining belgilangan qiymati ;
3) tizimni ish holatiga qaytarish usuli (cheklangan yoki cheksiz tiklash).
va uni belgilangan qiymat bilan solishtirish talab qilinadi .
Ushbu muammoni hal qilish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:
1) SSN va tizim holati grafigi tasvirlangan;
2) (3.40) ko'rinishdagi chiziqli algebraik tenglamalar tizimi yoziladi;
3) tenglamalar sistemasi (3.40) chiziqli mustaqil tenglamalar sistemasiga keltiriladi (3.41);
4) D va D _i ( i =0, 1, … n ) aniqlovchilarni tuzing ;
5) (3.42) formuladan foydalanib, P _i ( t ) ning i- holatlarida sistemani topish ehtimolini hisoblang ;
6) mavjudlik koeffitsienti tizimning xizmat ko'rsatish va ekspluatatsiya qilish holatlarida bo'lish ehtimoli yig'indisi sifatida hisoblanadi ;
7) hisoblangan qiymat belgilangan qiymat bilan taqqoslanadi . Agar tengsizlik (3.43) bajarilmasa, rezerv ko'pligi m bir marta oshiriladi va koeffitsientni hisoblash takrorlanadi .