Determinantlar və onların xassələri

Determinantlar və onların xassələri

𝑎 𝑎
Ikitərtibli 𝐴 = (𝑎¹¹ 𝑎¹² ) matrisinin elementlərindən düzəldilmiş
21 22
𝑎₁₁𝑎₂₂ − 𝑎₁₂𝑎₂₁ fərqinə ikitərtibli determinant və ya verilmiş matrisin determinantı deyilir və D_A, ∆(A), detA, ^|𝐴^| kimi simvollardan biri ilə işarə edilir.

𝑫 = ^{|𝑎11 𝑎12|} = 𝑎 𝑎

− 𝑎 𝑎

(1)

^{𝑨 𝑎}21 ^𝑎22
11 22
12 21

𝑎₁₁, 𝑎₂₂ elementlərinə determinantın baş diaqanal , 𝑎₁₂, 𝑎₂₁ elementlərinə isə yan diaqonal elementləri deyilir. İkitərtibli A matrisinin determinantını hesablamaq üçün baş diaqonal elementlərinin hasilindən yan diaqonal elementlərinin hasilini çıxmaq lazımdır.

^Məsələn: |^{3 5} | ^{= −6 − 10 = −16}
2 −2

^𝑎11 ^Üçtərtibli^A=^‖^𝑎21	^𝑎12 ^𝑎22	^𝑎13 ^𝑎23^‖	matrisinin elementlərindən düzəldilmiş
^𝑎31	^𝑎32	^𝑎33

^𝑎11^𝑎22^𝑎33 ^{+ 𝑎}12^𝑎23^𝑎31 ^{+ 𝑎}21^𝑎32^𝑎13 ^{− 𝑎}13^𝑎22^𝑎31 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}11^𝑎23^𝑎32
ifadəsinə üçtərtibli deerminant deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur:
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{𝐷𝐴 = |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^|.
𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33

Tərifə əsasən aşağıdakını yaza bilərik:

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝐷_𝐴 ^{= |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^{| = 𝑎}₁₁^𝑎₂₂^𝑎₃₃ ^{+ 𝑎}₁₂^𝑎₂₃^𝑎₃₁ ^{+ 𝑎}₂₁^𝑎₃₂^𝑎₁₃ ^−
𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33


^−𝑎13^𝑎22^𝑎31 ^{− 𝑎}12^𝑎21^𝑎33 ^{− 𝑎}11^𝑎23^𝑎32 ^.


(2)

Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki ifadəyə determinantın açılışı və ya qiyməti deyilir.Üçtərtibli determinantın hesablanma qaydasını aşağıdakı sxemdən almaq olar:
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^|𝑎21 ^𝑎22 ^𝑎23^|.
𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
Bu qayda üçtərtibli determinantları hesablamaq üçün üçbucaq qaydası adlanır. Məslən:

2	−1	0
^|3	1	4^|^=^4 +^0^−^4 −^0 +^16^+^6^=^22.
1	−2	2

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^{Indi isə n tərtibli 𝐴 =} |^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}| ^{(3) matrisin determinantın
𝑎}𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛
hesablayaq.
Determinantın hər hansı elementinin yerləşdiyi sətir və sütun üzərindən düz xəttlər çəkdikdə yerdə qalan elementlər tərtibi verilmiş determinantın tərtibindən bir vahid az olan determinant əmələ gətirir.Bu determinanta kəsişmədə duran uyğun elementin minoru deyilir.a_ij elementinin minoru M_ij ilə işarə olunur. M_ij minorunun (-1)^i+j vuruğu ilə hasilinə a_ij elementinin cəbri tamamlayıcısı deyilir və A_ij=(-1)^i+jM_ij ilə işarə olunur.
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^{Üçtərtibli |𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^{| (4) determinantının a13 və a23 elementlərinin
𝑎}31 ^𝑎32 ^𝑎33

minoru uyğun olaraq 𝑀
⁼ |^{𝑎21 𝑎22}| ^{𝑣ə 𝑀}
_{= |}^𝑎11 ^𝑎12_|.

^{13 𝑎}31 ^𝑎32 ^{23 𝑎}31 ^𝑎32
^{Cəbri tamamlayıcısı isə 𝐴 = (−1)1+3} |^{𝑎21 𝑎22}| ⁼ |^{𝑎21 𝑎22}|
^{13 𝑎}31 ^𝑎32 ^𝑎31 ^𝑎32
^{𝐴 = (−1)2+3} |^{𝑎11 𝑎12}|^=-|^{𝑎11 𝑎12}| ^{olar.
23 𝑎}31 ^𝑎32 ^𝑎31 ^𝑎32

3. 
   matrisinin birinci sətir elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcıları A₁₁,A₁₂,...A_1n olsun.
   

Tərif.𝑎₁₁𝐴₁₁ + 𝑎₁₂𝐴₁₂ + ⋯ + 𝑎_1𝑛𝐴_1𝑛 kimi təyin olunan ədədə n tərtibli matrisin n tərtibli determinantı deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur.


^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^{𝑑𝑒𝑡𝐴 =} |^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}| ^{= 𝑎11𝐴11 + 𝑎12𝐴12 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝐴1𝑛 (5)
𝑎}𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑛


Determinantın xassələri

1. 
   Determinantın uyğun sətirləri ilə sütunlarının yerini dəyişdikdə onun qiyməti dəyişməz.
   
2. 
   Determinantın iki sətrinin və ya iki sütunun bir-biri ilə yerini dəyişdikdə,onun ancaq işarəsi dəyişər.
   
3. 
   İki sətri və ya iki sütunu eyni olan determinant sıfra bərabərdir.
   

4. 
   Determinantın hər hansı bir sətrinin və ya sütunun bütün elementlərinin ortaq vuruğunu determinant işarəsi xaricinə çıxarmaq olar.
   
5. 
   Determinantın mütənasib olan sətrləri və ya sütunları varsa,bu determinantın qiyməti sıfra bərabərdir.
   
6. 
   Determinantın hər hansı bir sətir və ya sütununun bütün elementləri sıfra bərabərdirsə,bu determinantın qiyməti sıfra bərabərdir.
   
7. 
   Determinantın hər hansı bir sətrinin bütün elementləri iki ədədin cəmi kimi verildikdə,həmin determinant iki determinantın cəminə bərabər olar,bu determinantların birində həmin sətir elementləri olaraq birinci toplananlar,o birində isə həmin sətir elementləri olaraq ikinci toplananlar götürülür.
   
8. 
   Determinantın hər hansı sətrinin və ya sütunun bütün elementlərini bir ədədə vurub,digər bir sətir və ya sütun üzərinə əlavə etsək,determinantın qiyməti dəyişməz.