Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish masalasi Aniq integralning ta’rifi

Aniq integral mavjud bo‘lishining zaruriy sharti

Teorema. Agar f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi bo‘lsa, u holda bu funksiya [a;b] da chegaralangan bo‘ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilaylik. U holda f(x) funksiya [a;b] kesmaning _n bo‘linishiga mos [x_k-1,x_k] (k=1,2,…,n) kesmalarning hech bo‘lmaganda birida chegaralanmagan bo‘ladi. Masalan, funksiya [x_j-1,x_j] da chegaralanmagan bo‘lsin. Integral yig‘indini quyidagicha yozish mumkin:

S(_n )=A+f( )x_j ,
bunda A= ()x_k+ ()x_k .

[x_j-1,x_j] da f(x) chegaralanmaganligidan shunday [x_j-1,x_j] nuqta mavjudki, |f( )x_j| >|A|+ tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. U holda

|S(_n)| =|A+f( )x_j|  |f( )x_j|-|A| >|A|+ -|A|=
Demak,  0 da S(_n) bo‘ladi va bundan integral yig‘indining chekli limiti mavjud emasligi kelib chiqadi. Bu esa f(x) ning integrallanuvchi ekanligiga zid bo‘ladi. Bu qarama - qarshilik teoremani isbot qiladi.
Shuni ham aytish kerakki, ba’zi bir chegaralangan funksiyalar integrallanuvchi bo‘lmasligi ham mumkin, ya’ni funksiyaning chegaralanganligi uning integrallanuvchi bo‘lishi uchun faqat zaruriy shart bo‘lib, yetarli shart bo‘la olmaydi. Masalan,


funksiya (Dirixle funksiyasi) [-1;1] da chegaralangan. Shu funksiyaning kesmadagi integral yig‘indilarini olaylik. Agar har bir [x_k-1, x_k] kesmada lar uchun faqat ratsional nuqtalar tanlab olinsa,



bo‘ladi.

Agar har bir [x_k-1, x_k] kesmada lar uchun faqat irratsional nuqtalar tanlab olinsa,

.

Demak, S(_n) integral yig‘indining limiti nuqtalarni tanlab olish usuliga bog‘liqdir. Bu esa Dirixle funksiyasining integrallanuvchi emasligini ko‘rsatadi.

http://fayllar.org