Egri chiziqli trapetsiyaning yuzini topish masalasi Aniq integralning ta’rifi

O‘zgaruvchan kuch bajargan ish haqidagi masala. Faraz qilaylik, jism Ox o‘q bo‘ylab Ox o‘qdagi proeksiyasi x ning funksiyasi bo‘lgan F=f(x) kuch ta’sirida harakat qilayotgan bo‘lsin. Jism shu kuch ta’sirida a nuqtadan b nuqtagacha harakatlanganda bajarilgan ishni topish talab qilinsin.
Buning uchun [a;b] ni n ta bo‘lakka bo‘lamiz:

a=x₀₁₂<…_n-1n=b. [x_k-1,x_k] bo‘lakdan ixtiyoriy _k nuqtani tanlab olamiz va shu bo‘lakda jismga ta’sir etuvchi kuchni f(_k) ga, uning bajargan ishini

f(_k)(x_k -x_k-1)=f(_k)x_k

ga teng deb qaraymiz. U holda F=f(x) kuchning [a;b] da bajargan ishi taqriban ga teng bo‘ladi. Ravshanki, nolga intilsa, bajarilgan ishni aniqroq ifodalaydi va uni A= deb olish mumkin.

Shunday qilib, yuqoridagi ikki masalani yechish ushbu



ko‘rinishdagi yig‘indining limitini hisoblash masalasiga olib keldi. Shunga o‘xshash ko‘pchilik geometrik, mexanik va h.k. masalalar shunday yig‘indilarning limitini izlashga keltiriladi.


Integral yig‘indi, aniq integralning ta’rifi
Aytaylik, f(x) funksiya [a;b] da aniqlangan bo‘lsin. [a;b] kesmani

a=x₀< x₁< x₂< ..._n=b

nuqtalar bilan n ta bo‘lakka bo‘lamiz. [a;b] ni bo‘luvchi bu sonlar to‘plamini [a;b] ning bo‘linishi deb ataymiz va _n bilan belgilaymiz:
_n={x₀, x₁, …, x_n| a=x₀< x₁< x₂< ..._n=b}.
Har bir elementar [x_k-1,x_k] (k=1,2,...,n) kesmada bittadan ixtiyoriy nuqta tanlab, shu nuqtalarda funksiyaning f() qiymatlarini hisoblaylik va quyidagi yig‘indini tuzaylik:

S(_n)= , (1)

bu yerda x_k=x_k-x_k–1 [x_k-1,x_k] (k=1,2,...,n) kesmaning uzunligi.
Ushbu (1) yig‘indi f(x) funksiyaning [a;b] dagi integral yig‘indisi deb ataladi.
[a;b] ning bo‘linishlari _n va har bir [x_k-1,x_k] kesmadan nuqtalarni tanlash usullari cheksiz ko‘p bo‘lganligi sababli f(x) ning [a;b] dagi (1) integral yig‘indilari to‘plami cheksiz to‘plam bo‘ladi. = x_k belgilash kiritamiz.
1-ta’rif. Agar  nolga intilganda f(x) ning [a;b] dagi (1) integral yig‘indisi chekli I limitga ega bo‘lib, bu limit [a;b] ning _n bo‘linishlariga va nuqtalarini tanlash usuliga bog‘liq bo‘lmasa, o‘sha I limit f(x) ning [a;b] dagi aniq integrali deyiladi va u


orqali belgilanadi:


()x_k=
Bunday holda f(x) funksiya [a;b] da integrallanuvchi (yoki Riman ma’nosida integrallanuvchi) deyiladi.
Bu yerda ham aniqmas integraldagi kabi f(x)dx integral ostidagi ifoda, f(x)- integral ostidagi funksiya, x - integrallash o‘zgaruvchisi deb ataladi, a va b esa mos ravishda integrallashning quyi va yuqori chegaralari deyiladi.
Aniq integralning belgilanishi shu funksiyaning aniqmas integrali belgilanishiga o‘xshash. Bu tasodifiy emas. Aniq integralni hisoblash shu integral ostidagi funksiyaning aniqmas integralini hisoblashga keltiriladi, ularning belgilashlarining o‘xshashligi integrallash formulalarini eslab qolishni osonlashtiradi. Ammo aniq integral bilan aniqmas integral orasida muhim farq mavjud: f(x) funksiyaning [a;b] kesmadagi aniq integrali biror sondan iborat, shu funksiyaning aniqmas integrali esa uning barcha boshlang‘ich funksiyalarini ifodalaydi. Shu sababli bular turli tushunchalardir.
Aniq integral tushunchasiga olib kelgan birinchi masaladan aniq integralning geometrik ma’nosiga kelib chiqadi: geometrik nuqtai nazardan nomanfiy funksiyaning aniq integrali son jihatdan shu funksiyaga mos egri chiziqli trapetsiyaning yuziga teng bo‘ladi.