Ekonometrika asoslari o'quv qo'llanma

9.1-misol. 9.1.1-jadvalda ma'lum bir vaqt oralig'i uchun sanoatning beshta tarmog'i orasidagi balans maTumotlari keltirilgan. Yakuniy iste'mol vektori, yalpi ishlab chiqarish vektori va bevosita xarajatlar koeffitsientlari matritsasi topilsin hamda bu matritsa yuqorida keltirilgan mezonlarga muvofiq samarador ekanligi aniqlansin.
9.1.1 -jadval

Sanoatning beshta tarmog'i orasidagi balans ma'lumotlari T/r	Tarmoq	Iste'mol						Yakuniy mahsulot		Yalpi ishlab chiqarish, pul bir.
		1	2	3	4	5	6		7
1	Stanoksozlik	15	12	24	23	16	10		100
2	Energetika	10	3	35	15	7	30		100
3	Mashinasozlik	10	5	10	10	10	5		50
4	Avtomobil sanoati	10	5	10	5	5	15		50
5	Paxta etishtirish va qayta ishlash	7	15	15	10	3	50		100

Yechish. 9.1.1-jadvalda balansning tarkibiy qismlari (9.1.4) munosabatlarga muvofiq keltirilgan: X, — birinchi beshta ustun, v. — oltinchi ustun, x, —
ij У l l
ettinchi ustun (/, j = 1, 2, 3, 4, 5). (9.1.2) va (9.1.4) formulalarga asosan

'100^		f 10^		'0,15	0,12	0,48	0,46	0,16^N
100		30		0,10	0,03	0,70	0,30	0,07
50	, У =	5	, A =	0,10	0,05	0,20	0,20	0,10
50		15		0,10	0,05	0,20	0,10	0,05
4100,		Л		v0,07	0,15	0,30	0,20	0,03y

ga ega bo'lamiz.

A matritsaning barcha elementlari musbat, biroq ularning uchinchi va to'rtinchi ustunlardagi yig'indilari birdan katta ekanligini ko'rish qiyin emas. Binobarin, samaradorlik ikkinchi mezonining shartlari bajarilmagan va A matritsa samarador emas. Bu samarador emaslikning iqtisodiy sababi 3- va 4-tarmoqlarning ichki iste'moli ularning yalpi ishlab chiqarishiga nisbatan haddan tashqari katta ekanligidadir.
9.2-misol. 9.1.2-jadval ma'lum bir vaqt oralig'i uchun sanoatning uchta tarmog'i balansining maTumotlarini o'z ichiga oladi. Agar tarmoqlar bo'yicha yakuniy iste'mol mos ravishda 60, 70 va 30 shartli pul birligigacha ko'paytirilsa, har bir mahsulot turi bo'yicha yalpi ishlab chiqarish hajmini topish talab qilinadi.

9.1.2-j adval №	Tarmoq	Iste'mol			Yakuniy mahsulot	Yalpi ishlab chiqarish
		1	2	3	4	5
1	Paxta etishtirish va qayta ishlash	5	35	20	40	100
2	Energetika	10	10	20	60	100
3	Mashinasozlik	20	10	10	10	50

Yechish. Yalpi ishlab chiqarish va yakuniy iste'mol vektorlarini hamda bevosita xarajatlar koeffitsientlari matritsasini yozaylik. (9.1.2) va (9.1.4) formulalarga asosan

	'100^		f 40^		'0,05	0,35	0,40^л
x =	100	, y =	60		0,10	0,10	0,40
					v0,20	0,10	0,20y

_v30_y
ko'rinishga ega bo'ladi.

(9.1.7)

Balans munosabatlarini qanoatlantiruvchi yangi yalpi ishlab chiqarish vektori x* ni A matritsa o'zgarmaydi degan taxminda topish talab qilinadi. Bu holda noma'lum vektorning komponentalari matritsa shaklida
x* = A x* + у * yoki (E - A)x* = y. ko'rinishda bo'lgan tenglamalar sistemasidan topiladi. Bu sistemaning matritsasi

E-A =


0,80

^A 0,95 -0,35 - 0,40^1
-0,10 0,90 -0,40
-0,20 -0,10
ko'rinishga ega bo'ladi.

X* =

(9.1.7) chiziqli tenglamalar sistemasining o'ng tomonining berilgan (9.1.6) vektorida (masalan, Gauss usuli bilan) yechish yangi jr. vektorni tarmoqlararo balans tenglamalarining yechimini beradi:
'152,1} 135,8

ga ega bo'lamiz.
A matritsa samaradorlikning ikkala mezonini qanoatlantiradi. Yakuniy iste'molning berilgan hajmda ko'payishida yakuniy iste'molning yangi vektori


У* =


70


(9.1.6)

92 5
v j
Shunday qilib, yakuniy iste'mol vektori komponentalarining berilgan hajmda ko'payishini ta'minlash uchun mos yalpi ishlab chiqarishlarni oshirish zarur: 9.1.2-jadvalda ko'rsatilgan dastlabki ma'lumotlarga nisbatan paxta etishtirish va qayta ishlashni 52,1 % ga, energetika darajasini 35,8 % ga va mashinasozlik ishlab chiqarishini 41,5 % ga oshirish zarur.

9.2. Iste'mol tanlovi modellari 9.2.1. Foydalilik funktsiyasi va uning xossalari

Iste'molchi tovarlar (mahsulotlar)ni sotib olishga butunlay sarflaydigan / daromadga ega bo'lsin, ya'ni / kattalik ushbu iste'molchining daromadi emas, balki xarajatidir. Narxlar tuzilmasi, daromadi va shaxsiy manfaatlarini hisobga olgan holda iste'molchi ma'lum miqdordagi tovarlarni sotib oladi, uning bunday xatti-harakatlarining matematik modeli iste 'mol tanlovi modeli deb ataladi.
Ikkita tovardan iborat iste'mol to'plamlarini ko'rib chiqaylik. Iste'mol to'plami (qisqacha to'plam) — J, koordinatasi birinchi tovar miqdoriga, x₂
koordinatasi esa ikkinchi tovar miqdoriga teng bo'lgan x₂ ) vektor.
Iste'molchining tanlovi afzallik munosabati bilan tavsiflanadi, uning mohiyati quyidagicha. Iste'molchi har bir 2ta to'plam haqida yo ularning biri ikkinchisiga nisbatan kerakroq, yo ularning ikkalasi ham iste'molchi uchun baribir ekanligini aytishi mumkin deb hisoblanadi. Afzallik munosabati tranzitivdir, ya'ni agar A = (a_l, a₂) to'plam B = (b_x, b₂) to'plamga nisbatan, В to'plam esa
C = (c_1? c₂) to'plamga nisbatan afzalroq bo'lsa, u holda A to'plam С to'plamga nisbatan afzalroq bo'ladi.
Iste'molchining foydalilik funktsiyasi deb (л;,, x₂) iste'mol to'plamlari
majmuasida aniqlangan shunday u{x_x, x₂)funktsiyaga aytiladiki, uning (л;,, x₂) iste'mol to'plamidagi u(x_x, x₂)qiymati iste'molchining bu to'plam uchun iste'mol bahosiga teng bo'ladi. x₂) to'plamning u{x_Y, x₂)iste'mol bahosini iste'molchi ushbu x₂) to'plamni sotib olgan yoki iste'mol qilgandagi iste'molchi ehtiyojlarini qondirish darajasi deb atash qabul qilingan. Har bir iste'molchi, umuman olganda, o'zining foydalilik funktsiyasiga ega bo'ladi. Agar A to'plam В to'plamdan afzalroq bo'lsa, u holda u(A)>u(B) bo'ladi.
Iste'molchining tovarlarga bo'lgan talabini aniqlovchi foydalilik funktsiyasida X-vektorning koordinatalari manfiy bo'lmagan qiymatlarni qabul qilsin va u(x) fimktsiya o'suvchi yoki hech bo'lmaganda tovarlar soni o'sishi bilan, kamayuvchi bo'lmasin: ya'ni x. < x.₊₁ bo'lganda
и (x^ < и (x, ,)
bo'lsin. Agar u(x) differentsiallanuvchi bo'lsa, bu shartni quyidagicha yozish mumkin:
u(Xj) = y/>0, i=l,2,.... n
Ushbu ifodaga asosan
и (x)=c
shartni qanoatlantiruvchi X -vektorlar to'plamini befarqlik sirti deyiladi. Befarqlik sirti — bu iste'molchi uchun bir xil foydalilikka ega bo'lgan iste'mol rejasi vektorlaridan tashkil topgan to'plamdir.
Foydalilik funktsiyasi differentsiallanuvchi bo'lib, argumentlarning kichik o'zgarishlari bo'yicha afzallik funktsiyasining o'zgarishi to'la differentsial orqali ifodalanadi:
ⁿ ди ⁿ
dy (x) = X ~dx. = X u-dx.
i=\dx_i i _Z=1 г i
Befarqlik sirtida yotuvchi nuqtalarda yuqoridagi ifoda nolga teng bo'ladi, ya'ni
n
E и. dx ■ = 0
1 I I
tenglik o'rinli bo'ladi. Agar i va j - mahsulotlardan boshqasi o'zgarmasa, u holda yuqoridagidan u_ldx_l + u_jdx_j = 0 kelib chiqadi. Bundan esa
dx_i _ Uj(x) dXj u_t (x)
и j (л;)
o'rinli bo'ladi. miqdorni i va j- mahsulotlarni ekvivaienl almashtirish
ЪЛ^ {X J
koeffitsienti deyiladi va bu koeffitsient manfiy bo'ladi. Foydalilik funktsiyasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Mahsulotlardan birining iste'moli ikkinchisining iste'moli o'zgarmas
   

bo'lganda ortishi iste'mol bahosining o'sishiga olib keladi, ya'ni
2 1 2 1

1. 
   agar x_l > x_l bo'lsa, u holda u(x_l ,x₂)> u(x_l,x₂) bo'ladi yoki,
   

Su^Xi, JCT) f f\
boshqacha aytganda, — u_x > U o'rinli;
dx_l

2. 
   agar x₂ > x₂ bo'lsa, u holda u(x₁, x₂ ) > u(x₁, x₂) bo'ladi yoki,
   

Su^Xi, Xry ) f r\
boshqacha aytganda, = u₂>\J o'rinli.
dx₂
Birinchi tartibli xususiy hosilalar mahsulotlarning limit foydaliliklarini beradi: u[ birinchi mahsulotning limit foydaliligi, u₂ esa ikkinchi mahsulotning limit foydaliligi.
1. Har bir mahsulotning limit foydaliligi uni iste'mol qilish hajmi o'sganda kamayadi (limit foydalilikning bu xossasi limit foydalilikning kamayish qonuni deb ataladi), ya'ni