Elektr sxemalarni Kirxgof 2-qonunlari asosida hisoblash Mustaqil tugun tenglamalari soni

Mustaqil kontur tenglamalari soni. T tugunlari mavjud bo’lgan xar qanday zanjirda shunday shoxobchalarni ajratib ko’rsatish mumkin bo’lsinki, bu shoxobchalar birorta berk kontur hosil qilmasdan barcha tugunlarni o’zaro birlashtirsin. Buni quyidagicha bajaramiz: ikki tugunni bir shoxobcha bilan birlashtiraylik va tugunlarni 1 va 2 bilan belgilaylik (6.1,b-rasm); so’ngra, 2 tugunni yangi tugun bilan bog’laylik, uni 3 bilan belgilaylik, va h.k. Shu tariqa oxirgi tugun n=T gacha olib boraylik. Bunday bog’lanish 6.2-rasmdagi sxemada ilgari keltirilgan to’rt tugunli zanjir uchun keltirilgan. Oxirgi tugunni 1 tugun bilan birlashtirib bo’lmaydi, chunki unda berk kontur hosil bo’ladi.
Agar xar bir tugun boshqa barcha tugunlar bilan shoxobchalar orqali ulansa, tugunlar oldindan ixtiyoriy ravishda nomerlanib, so’ngra tugunlar ketma-ket ulanishi mumkin (1 va 2, 2 va 3, ...,T-1 va T).
Aniqki, bunday ulanishda shoxobchalar soni tugunlar sonidan albatta bittaga kam bo’ladi; bu barcha shoxobchalar ketma-ket ulangan, zanjir berk bo’lmaydi. Biroq, ixtiyoriy bir juft tugunlarga yangi shoxobchalar ulansa, kontur xosil bo’ladi, chunki shartga ko’ra barcha tugunlar qandaydir shoxobcha bilan ulangandir.
Kontur hosil qilmasdan shu yo’sinda kiritish mumkin bo’lgan shoxobchalar-daraxt shoxobchalari deyiladi, ular hosil qilgan struktura daraxt deb ataladi.
Ta’rifga ko’ra, daraxtga kiritilgan xar qanday shoxobcha konturni hosil qiladi (aks xolda, bunday shoxobcha daraxt shoxobchalari qatoriga kirar edi). Ana shunday berk kontur hosil qiluvchi shoxobchalar vatarlar (yoki ko’priklar) deb ataladi. Vatarlar 2.5,b-rasmda punktir chiziqlar bilan ko’rsatilgan.
Daraxtga bitta vatarni qo’shib, ilgari qurilgan boshqa bir shoxobchani tashlab yuborib, hosil bo’lgan berk konturni uzish mumkin. Bunda yangi daraxt, ya’ni berk kontursiz zanjir paydo bo’ladi. Biroq, ixtiyoriy yangi daraxtning shoxobchalari soni o’zgarishsiz qoladi, chunki xar gal yangi bir vatar qo’shilganda, aynan bitta boshqa shoxobchani tashlab yuborish lozim.
Shoxobcha-vatarlar soni X, shaxobchalar soni Sh bilan daraxtga kiruvchi shaxobchalar (T-1) ayirmasiga teng:
X = Sh - (T - 1).
Xar qanday shoxobcha-vatar kiritilishidan hosil bo’lgan kontur uchun, Kirxgofning ikkinchi qonuniga asosan tenglama tuzish mumkin. Bunda, xar bir shunga o’xshash tenglama boshqalaridan mustaqildir, chunki ularning xar biriga yangi noma’lum berk konturi xosil qiluvchi yangi shoxobcha toki kiradi.
Demak, mustaqil kontur tenglamalari soni vatarlar soniga, ya’ni (3.3)ga binoan Sh-(T-1)ga teng. Shuni isbot qilish zarur edi.
Kirxgof tenglamalari tuzilgan kontur, boshqa oddiy konturlardan farqlanishi mumkin, chunki ularning xar birida faqat bittadan vatarlar mavjud. Bu quyidagi mulohazadan ayonligi ko’rinadi: ikki mustaqil tenglamalarni o’zaro qo’shib, yangi tenglama hosil qilamiz. Bu, o’z navbatida, qolgan ikki asosiy tenglamalardan birinchisi yoki ikkinchisi bilan xamkorlikda ikki mustaqil tenglamalarni hosil qiladi. Mustaqil tenglamalarning umumiy soni o’zgarmasdan qoladi.
Eslatma. Tarqoq bo’lmagan zanjirni chegaralovchi ikki tugunlari bitta tugunga qo’shiluvchi (T=1) bir shoxobchali (Sh=1) zanjir deb qarash mumkin. Bunday zanjirlaruchun ham K₁=T-1=0 va K₂=Sh-(T-1)=1ifodalashni qo’llash mumkin. Darhaqiqat, bunday zanjiruchun faqat bitta kontur tenglamasini tuzish mumkin. Ushbu fikrlar tugunning shoxobcha chegarasi ekanligi haqidagi ta’rifga to’la mos keladi.
Barcha tugun tenglamalarining xar bir kontur tenglamalariga bog’lik bo’lmasligi (ulardan mustaqilligi) ayondir, chunki kontur tenglamalari tarkibida shoxobchalar qarshiliklari va e.yu.k.lari mavjud bo’lib, tugun tenglamalarida ular qatnashmaydi. Demak, tugun tenglamalarining xar qanday chiziqli kombinatsiyasidan kontur tenglamalarini hosil qilib bo’lmaydi. Bu esa, zanjirning to’la mustaqil tenglamalari soni shoxobchalar soniga teng ekanligini isbotlaydi. Demak agar qolgan barcha parametrlar berilgan bo’lsa aniqlangan tenglamalar tizimi barcha toklarni aniqlash uchun etarlidir; ushbu holat tenglamalar tizimining to’liqligini ta’kidlaydi.
Yuqorida keltirilgan mustaqil tenglamalarsoni haqidagi barcha mulohazalar, tok manbasi bor bo’lganda ham o’z kuchiga ega, chunki tok manbasi ekvivalent kuchlanish manbasi bilan almashtirilishi mumkin. Biroq, tugun tenglamalarining o’ng tomonida Kirxgofning birinchi qonuni ta’rifidagidek tok manbalarning toklari qatnashayapti deb hisoblab, yuqoridagi mulohazalarni davom ettirish mumkin.
Masala:
Qarshiliklari r₁2 Om, r₂5 Om, r₃3 Om bo'lgan elektr zanjiri elektr yurituvchi kuchlari E₁50 V, E₂70 V bo'lgan manbaga ulangan. (Rasm-6.2) Zanjirdagi tokning qiymati va qarshiliklardagi kuchlanishlarning pasayishini aniqlang.