EGYENÁRAMOK
127
((40,11). egyenlet),
ahol a és b integrációs állandók. Ezeket a (40,7) határfeltételekből határozzuk meg. Eszerint
Ezekből adódik:
((40,12). egyenlet).
Az integrációs állandók (40,12) értékét (40,11)-be, majd azt (40,8)-ba beírva, megkapjuk az elektromos tér Φ( r, z) potenciálját:
((40,13). egyenlet).
Az elektromos térerősséget ebből gradiensképzéssel kapjuk. Írjuk fel az
E térerősség z és r komponensét:
((40,14). egyenlet),
((40,15). egyenlet).
Látható, hogy a vezetőt körülvevő szigetelőben az elektromos térerősség már nem z irányú, mint a vezetőben, hanem van radiális komponense is.
A vezető határán E
r
-nek és ezzel együtt D
r
-nek (amik most normális komponensek) ugrása van. Ez azt jelenti, hogy a vezető felületét töltés vonja
be. A töltés sűrűsége:
EGYENÁRAMOK
128
((40,16). egyenlet).
Mivel
, negatív z értékekre η > 0, pozitív z értékekre η < 0. Szemléletesen szólva: a felületi töltéssűrűség az áram irányában haladva, a
-től
a
-ig változik. A töltés zéruspontja a z = 0 helyen van, amely tetszőlegesen választható. A vezetőből kiinduló térerősségvonalak a visszavezető
felületen végződnek, ott tehát ellentétes előjelű töltésbevonat alakul ki.
A térerősség-komponensek és a felületi töltéssűrűség kifejezéseinek nevezőjében a vezető σ vezetőképessége szerepel, amely igen nagy érték.
Ezért a vezető felületi töltése és az általa keltett elektromos tér erőssége nagyon kicsi.
Mivel az elektromos térerősség radiális komponense nem zérus, a vezető és a visszavezető között véges potenciálkülönbség van:
((40,17). egyenlet).
Ha a vezető hosszegységére eső e = 2πr
1
η töltést a (40,17) potenciálkülönbséggel elosztjuk, a vezető és a visszavezető alkotta hengerkondenzátor
hosszegységének kapacitását kapjuk:
((40,18). egyenlet).
Most megvizsgáljuk az egyenáram által szállított energia áramlását. Látni fogjuk, hogy az energia nem az áramvezetőben, hanem a körülötte levő
szigetelőben áramlik az áramforrástól a fogyasztóhoz.
Az energia áramsűrűségét a (9,19) egyenlettel definiált Poynting-vektor adja:
((40,19). egyenlet).
Mivel a vezető belsejében az elektromos térerősség a
j = σE Ohm-törvény értelmében z irányú, H pedig azimutális, S-nek nincs z irányú komponense
a vezetőn belül.
Ott az
S vektor radiális irányú, és a felületre merőlegesen befelé mutat. Ez azt jelenti, hogy a vezetőben az áram irányában nem történik
energiaáramlás. Tehát nem a vezető szállítja az energiát a fogyasztóhoz.
EGYENÁRAMOK
129
Vizsgáljuk meg az
S energiaáramsűrűség-vektort a vezetőn kívüli szigetelőben. Bontsuk fel E-t két összetevőre:
((40,19a). egyenlet).
E
z
a z tengely irányába,
E
r
pedig a növekvő r irányába mutató vektor. Az
S vektor (40,19)-nek megfelelően két vektor összegeként áll elő:
((40,20). egyenlet).
S
1
a vezető felé irányuló radiális energiaáramlást,
S
2
pedig z irányú energiaáramlást ír le. Az energia tehát a drót körüli szigetelőben áramlik, amelynek
egy része (az
S
1
komponens) folytonosan beáramlik a vezetőbe. Számítsuk ki, hogy 1 s alatt mennyi energia áramlik be a vezető l hosszúságú
felületén. Ezt az
S vektor normális komponensének (tehát S
1
-nek) az l hosszúságú palástra vett integrálja adja meg:
.
Mivel
E
z
a határon -val egyenlő, ezért
((40,21). egyenlet).
Az integrandusz állandó, ezért kiemelhető az integrál elé:
.
Feltéve, hogy
j az egész vezetőben állandó,
, amiből
((40,22). egyenlet).
Az áramsűrűség (40,22), H( r
1
) (40,1a)-ból adódó kifejezését beírva kapjuk:
((40,23). egyenlet),
EGYENÁRAMOK
130
ahol
a vezető keresztmetszete. A (40,23) egyenlet jobb oldalán álló
tényező a vezető l hosszúságú szakaszának ohmikus ellenállása:
((40,24). egyenlet).
Ezt (40,23)-ba beírva, kapjuk:
((40,25). egyenlet).
(40,25) jobb oldalán a vezető l hosszúságú darabjában 1 s alatt keletkezett Joule-hő kifejezése áll. A (40,25) egyenlet tehát azt fejezi ki, hogy
az l hosszúságú vezetőszakaszba 1 s alatt beáramlott elektromágneses energia a benne időegység alatt keletkezett Joule-hővel egyezik meg. A
vezetőbe beáramló energia tehát Joule-hővé alakul.
A vezető belsejében:
((40,26). egyenlet).
A vezető közepe felé áramló energia a középvonal felé közeledve (40,1a) szerint lineárisan csökken az r távolsággal, és a vezető közepén, r = 0-
nál, az energia-áramsűrűség zérussá válik.
A szigetelőben z irányban áramló energiát
S
2
írja le:
((40,27). egyenlet).
Mivel
E
r
és
H (40,15), illetve (40,1b) alapján szerint csökken a távolsággal, S
2
a vezetőtől távolodva szerint csökken. Ennélfogva az energia
a vezető közvetlen közelében áramlik gyakorlatilag.
Számítsuk ki azt az energiát, amely a vezető és a visszavezető között a z = const síkon 1 s alatt átáramlik. Szemeljük ki a z = const síkkal való
metszetet (50. ábra). Az áram iránya mutasson a lapra merőlegesen a lap mögé. Az 1 s alatt átáramló energia az
S
2
vektornak az r
1
-től r
2
-ig terjedő
körgyűrűre vett felületi integrálja:
.
Dostları ilə paylaş: |