Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
135
anyagi  egyenletek,  valamint  a  6.  pontban  megállapított  határfeltételek,  amelyek  a  két  különböző  közegre  vonatkozó  megoldásokat  illesztik  az
érintkező felület mentén. (Vc) az Ohm-törvényt fejezi ki arra az esetre, amikor áramforrás is van a térben.
Az alapegyenletekben szereplő fizikai mennyiségek – az egyenáramokkal ellentétben – függnek az időtől is.
Az (I) egyenletből következik, hogy
 ((41,1). egyenlet).
Az áramsűrűség divergenciamentességéből a 31. pontban követett gondolatmenettel adódik, hogy a szigetelőbe ágyazott vezető felületén 
j normális
komponense eltűnik: j
n
 ≡ 0.
Ennek alapján könnyen belátható, hogy véges keresztmetszetű vezető bármely két keresztmetszetére vett áramerősség kvázistacionárius áramok
esetén is megegyezik egymással. Jelöljük a két keresztmetszetet q
1
-gyel, illetve q
2
-vel. Integráljuk (41,1)-et a q
1
 és q
2
 által bezárt vezetőszakaszra.
A Gauss-tétel alapján írható:
 ((41,2). egyenlet).
Mivel a vezetőt szigetelő veszi körül, az előbb mondottak szerint a harmadik integrálban j
n
 = 0, ezért
.
Ezek az integrálok pedig a két helyen vett I
1
, illetve I
2
 áramerősséggel egyenlők. Tehát:
 ((41,3). egyenlet).
Az (I)–(IV) differenciálegyenletek az (Va–c) anyagi egyenletekkel és határfeltételekkel együtt szolgálnak a kvázistacionárius áramok elektromágneses
terének a meghatározására. Adott vezetők és áramforrások esetén belőlük határozható meg a 
j árameloszlás és az elektromos, illetve mágneses
térerősség  mint  a  helynek  és  az  időnek  a  függvénye.  A  technikában  előforduló  egyszerűbb  alkalmazásoknál  azonban  célszerűbb  az  integrális
mennyiségekre  vonatkozó  egyenleteket  használni.  Ezért  most  meghatározzuk  –  a  gyakorlatban  legtöbbször  előforduló  –  lineáris  vezetőkörökre
vonatkozó alapegyenleteket.
Gondoljunk el lineáris vezetőkből álló áramköröket. Tételezzük fel, hogy az egyes körökben áramforrások is lehetnek, amelyek elektromotoros erejét
 jelöli. A k-adik kör   elektromotoros erejét (34,5) szerint az

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
136
 ((41,4). egyenlet)
körintegrállal értelmezzük.
Az (Vc) Ohm-törvényből fejezzük ki az 
E térerősséget, és írjuk be az indukciótörvényt kifejező (III) Maxwell-egyenletbe:
 ((41,5). egyenlet).
Integráljuk a (41,5) egyenlet mindkét oldalát a k-adik áramkörre mint határvonalra illeszkedő felületre:
 ((41,6). egyenlet).
A bal oldali integrál a Stokes-tétellel a vezetőkörre vett vonal menti integrállá alakítható. Tegyük fel, hogy a vezetők által meghatározott felületek
időben nem változnak. Ekkor a jobb oldali integrálban az idő szerinti differenciálás jele az integráljel elé emelhető. Így (4l,6)-ból adódik:
 ((41,7). egyenlet).
Mivel lineáris vezetőkről van szó, 
j ds = j ds. A bal oldali első integrálban a számlálót és a nevezőt szorozzuk meg a vezető q keresztmetszetével.
Ekkor írható:
 ((41,8). egyenlet).
Az I
k
 = jq áramerősség az egész vezetőkor mentén állandó, ezért az integráljel elé emelhető:
 ((41,9). egyenlet).
A (41,9) egyenlet jobb oldalán álló felületi integrál a k-adik vezetőkörön átmenő   mágneses indukciófluxus. A bal oldali első integrál pedig a k-adik
kör R ohmikus ellenállása. Ezért (41,9) a (41,4) jelölés felhasználásával a következőképpen írható:
 ((41,10). egyenlet).

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
137
Ugyanilyen egyenlet érvényes a többi áramkörre is. A (41,10)-ben a k index tehát felveszi a k = l, 2, 3, ... értékeket. Ez az egyenlet az egyenáramoknál
megismert (34,6) integrális Ohm-törvény általánosítása kvázistacionárius áramok esetére. A 
 tag az elektromágneses indukció következménye.
Ez az ún. indukált elektromotoros erő hozzáadódik (negatív előjellel) az áramkörbe beiktatott áramforrás   elektromotoros erejéhez.
Az   indukciófluxus (38,13) szerint az egyes körökben folyó I
i
 áramerősségek lineáris kifejezése:
 ((41,11). egyenlet),
ahol
 ((41,12). egyenlet).
i ≠ k esetén az i-edik és k-adik vezetőkör kölcsönös indukciós együtthatója, L
kk
 pedig a k-adik kör önindukciós együtthatója (n az áramkörök számát
jelöli).
Az   indukciófluxus tehát a többi áramkör (i ≠ k) által keltett mágneses tértől és a saját (i = k) mágneses tértől származik. (Feltéve, hogy a térben
mágnesek nincsenek, vagyis csak az áramok keltik a mágneses teret.)
Az indukciófluxus (41,11) kifejezését (41,10)-be beírva, az áramkörök alapegyenletét kapjuk:
 ((41,13). egyenlet).
(Az 
 jelölést használjuk.)
A (41,13) egyenletekből az áramkörökre jellemző R
k
 ellenállások és L
ki
 indukciós együtthatók, valamint az   elektromotoros erők ismeretében az
adott kezdőfeltételekhez tartozó I
i
 áramerősségek kiszámíthatók.
Áramkör ellenállással és önindukcióval
Gondoljunk el egyetlen áramkört, amelyben R ohmikus ellenállás és L önindukciós együtthatójú tekercs van (51. ábra). Tételezzük fel, hogy t =
0-kor bekapcsolunk a körbe egy 
 állandó elektromotoros erejű áramforrást. A t = 0 időpillanatban tehát zérus az áram erőssége: I(0) = 0.

---

KVÁZISTACIONÁRIUS ÁRAMOK
138
Határozzuk meg, hogy az   elektromotoros erő hatására kialakult I(t) áramerősség milyen függvénye az időnek. Az áramerősséget meghatározó
differenciálegyenletet (41,13)-ból kapjuk, ha azt egyetlen áramkörre írjuk fel:
 ((42,1). egyenlet).
51. ábra -
Megoldandó tehát ez a differenciálegyenlet az I(0) = 0 kezdőfeltétellel.
Mivel   állandó, (42,1) a következő alakba írható:
 ((42,2). egyenlet).
Az 
 jelöléssel (42,2) a
 ((42,3). egyenlet)
alakot veszi fel. A (42,3) differenciálegyenlet megoldása:
 ((42,4). egyenlet).
A C integrációs állandót az I(0) = 0 kezdőfeltételből határozzuk meg. Ebből C-re a 
 érték adódik. Az állandó   elektromotoros erő hatására
kialakult áram erőssége tehát:

---