Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

EGYENÁRAMOK
123
 ((39,1). egyenlet),
ahol 
r a vezető kiszemelt térfogategységétől a mágneshez húzott vektor, 
. A (39,1) mágneses tér a mágneses momentumra (28,8) szerint az
 ((39,2). egyenlet)
erőt fejti ki. A hatás-ellenhatás elve szerint a mágnes 
f = –f' erővel hat a vezető térfogategységében levő áramra. Tehát
 ((39,3). egyenlet).
Mivel 
f a térfogategységre kifejtett erő, ezért erősűrűségnek nevezzük. A térerősség (39,1) kifejezését (39,3)-ba beírva:
 ((39,4). egyenlet).
A gradiens a mágnes helyének (x, y, z) koordinátái szerint képzendő. A vezető megfelelő pontjának koordinátái legyenek x', y', z'. Számítsuk ki az
erősűrűség x komponensét.
Itt figyelembe vettük, hogy a 
j áramsűrűség az x', y', z' koordináták függvénye, tehát az x, y, z koordináták szerint vett differenciálhányadosa zérus.
Hasonló kifejezés adódik az erősűrűség y és z komponensére is. Az 
f erősűrűség kifejezése tehát
 ((39,5). egyenlet).
A vektoriális szorzat második tényezője (28,7) szerint az 
m mágneses momentum által keltett mágneses tér H erőssége az áram helyén, ha a vezető
és mágnes között vákuum van. Ha viszont μ permeabilitású közeg tölti ki a teret, akkor a magnetosztatika és elektrodinamika közötti analógia alapján
a fenti zárójel a mágnes által keltett tér 
B vektorát jelenti az áram helyén. Tehát:

---

EGYENÁRAMOK
124
 ((39,6). egyenlet).
Az  áramra  ható  erősűrűség  (39,6)  kifejezésében  már  semmi  sem  utal  arra,  hogy  a  tér  miből  származik.  Ezt  a  kifejezést  általános  érvényűnek
fogadjuk el, és a 
B-n bármilyen mágneses teret érthetünk. Eszerint, ha áram által átjárt vezetőt adott mágneses térbe helyezünk, az a vezető
térfogategységében folyó áramra a (39,6) erőt fejti ki.
Vákuumban levő vezető esetén az erősűrűség kifejezése:
 ((39,7). egyenlet).
Az elektromágneses energia áramlása egyenárammal átjárt végtelen
vezető mentén (Tengeri kábel)
Képzeljünk  el  végtelen  hosszú,  r
1
  sugarú,  kör  keresztmetszetű  egyenes  vezetőt,  amelyet  véges  vastagságú,  végtelen  hosszú  vezető  henger
vesz körül koaxiálisan (49. ábra). Legyen a henger belső sugara r
2
, a külső r
3
. A koordináta-rendszer z tengelyét válasszuk a belső vezető drót
középvonalának. Tételezzük fel, hogy a vezetőben a +z irányban, a hengerben pedig ellentétes irányban folyik I erősségű egyenáram. Ezt úgy
képzelhetjük el, hogy a vezetőben folyó I erősségű áram a végtelenből a hengeren keresztül folyik vissza. Feladatul tűzzük ki az áram által keltett
mágneses és elektromos tér meghatározását, valamint az energiaáramlás vizsgálatát.
49. ábra -

---

EGYENÁRAMOK
125
Foglalkozzunk előbb a mágneses térrel. A 36. pont 1. szakaszában követett gondolatmenet alapján adódik, hogy a mágneses térerősség vonalai a
z tengely körüli koncentrikus körök. A térerősség abszolút értéke:
 ((40,1a). egyenlet);
 ((40,1b). egyenlet);
 ((40,1c). egyenlet);
 ((40,1d). egyenlet).
(40,1d) szerint a külső hengeren kívül nincs mágneses tér. Az áram visszavezetésével tehát leárnyékoltuk a drótban folyó áram mágneses terét. A
mágneses térerősség abszolút értékét megadó (40,1a)–(40,1d) kifejezéseket – mint r függvényét – feltüntettük a 49. ábrán.
Ha a visszavezető henger végtelen vastag, vagyis 
, akkor (40,1b) és (40,1c) szerint a mágneses térerősség abszolút értéke a dróton kívül
const/r szerint csökken, és a végtelenben éri el a zérus értéket úgy, mintha a visszavezető henger jelen sem lenne. Tehát:
 ((40,2). egyenlet).
A továbbiakban ezzel az esettel foglalkozunk, tehát r
3
-at végtelennek tekintjük. Ez az eset megvalósítható pl. tengeri kábelnél, ahol a tenger vize
a visszavezető.
Határozzuk meg most az áram által keltett elektromos tér erősségét.
A drót belsejében a térerősség z irányú, és nagyságát az Ohm-törvény alapján kaphatjuk meg:
 ((40,3). egyenlet).
A visszavezetőben érvényes térerősséget is az Ohm-törvény szolgáltatja:
 ((40,4). egyenlet).

---

EGYENÁRAMOK
126
σ
1
 a visszavezető (pl. a tenger vizének) vezetőképessége. A térerősség azért zérus ebben a tartományban, mert itt az áramsűrűség eltűnik: 
j = 0.
A drót és a visszavezető közötti szigetelőben uralkodó elektromos teret a 33. pont alapján határozzuk meg. Az elektromos térerősség (33,1) szerint
skalárpotenciálból származtatható, tehát:
 ((40,5). egyenlet).
A Φ potenciált a (33,3) egyenletből határozzuk meg:
 ((40,6). egyenlet).
(40,6) megoldásának ki kell elégítenie az elektromos térerősség tangenciális komponensére vonatkozó (33,4) határfeltételt a drót és a szigetelő,
valamint a szigetelő és a visszavezető határán. Nevezetesen:
 ((40,7). egyenlet)
Mivel a feladat hengerszimmetrikus, a (40,6) egyenlet megoldását célszerű hengerkoordinátákban keresni. Ugyanis a szimmetria miatt Φ nem függ
a χ azimuttól, vagyis csak az r és z változó függvénye: Φ = Φ(r, z). A (40,7) határfeltétel szerint 
 független a z-től. Ebből arra lehet következtetni,
hogy Φ a z változónak lineáris függvénye. Ezért (40,6) megoldását a
 ((40,8). egyenlet)
alakban keressük. A (40,6) egyenletet felírjuk hengerkoordinátákban, és figyelembe vesszük, hogy Φ a χ-től nem függ, az r és a z változót pedig
(40,8) alakban tartalmazza:
 ((40,9). egyenlet).
A Ψ(r) függvénynek tehát ki kell elégítenie a
 ((40,10). egyenlet)
egyenletet. (40,10)-et kétszer integrálva, adódik a keresett Ψ(r) függvény:

---