Elektrodinamika és relativitáselmélet
Yüklə 76,67 Kb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Kredit 2 Heti óraszám
- Helyettesítő tárgyak - Periódus
- Közegek elektrodinamikája
- A sztatikus elektromos mező
- Sztatikus és kvázisztatikus mágneses mezők
- Elektromágneses síkhullámok, hullámterjedés
- Relativisztikus mechanika
| A tárgy neve ELEKTROMÁGNESSÉG ÉS RELATIVITÁSELMÉLET Meghirdető tanszék(csoport) SZTE TTK Elméleti Fizikai Tanszék Felelős oktató: Dr. Varga Zsuzsa Kredit 2
2
Előadás
Számonkérés Kollokvium Teljesíthetőség feltétele Félévközi dolgozatok Párhuzamosan feltétel nincs
Előfeltétel Matematikai módszerek a fizikában Helyettesítő tárgyak -
Tavaszi félév, évente
4
választható Fizika
AJÁNLOTT IRODALOM 1.
Benedict Mihály: Elektrodinamika, JATE Press, Szeged, 2000. 2.
Jackson J. D.: Klasszikus elektrodinamika, Typotex Kiadó, Budapest, 2004. 3.
Hevesi Imre: Elektromosságtan, Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.
A TANTÁRGY RÉSZLETES TEMATIKÁJA
információ tárolását, továbbítását és felhasználását e törvények alapján oldja meg az emberiség. Az előadás az elméleti fizika szokásos módszerét követi: először összefoglaljuk az általános törvényszerűségeket és fogalmakat, majd matematikai eszközökkel származtatjuk a speciális körülmények között érvényes összefüggéseket. Az elektrodinamikához történetileg szorosan kötődik a speciális relativitáselmélet, ezért hagyományosan ennek keretében tárgyaljuk.
Az elektrodinamika mint mennyiségi tudomány egyetlen évszázad alatt fejlődött ki. Cavendish 1771-73-ban végzete elektrosztatikai kísérleteit, és Hertz 1888-ban kimutatta az elektromágneses hullámok létezését. A Coulomb törvény, a Biot-Savart törvény, Ampere törvényének felfedezése után 50 évvel Faraday döntő lépést tett a mező fogalmának megalkotásával. A munkát Maxwell fejezte be a mező dinamikai elméletével 1864-ben.
Az elektrodinamika alapvető fogalma a töltés. Töltött testek egymásra erőt gyakorolnak. A töltés kvantált jellege, az elemi töltés, a töltés mértékegysége. Kiterjedt testek töltéseloszlásának jellemzője a töltéssűrűség. A töltések mozgása elektromos áramként jelentkezik. Az áramerősség és az áramsűrűség. A töltéssűrűség és az áramsűrűség kapcsolata Az elektromágneses kölcsönhatás jellege, a mező fogalma. Az elektromágneses mező létezéséről egy töltött testre gyakorolt hatása alapján szerzünk tudomást. A nyugvó töltésre gyakorolt erő és a próbatöltés hányadosa az E elektromos térerősség. A mozgó töltésre gyakorolt erő adja a B mágneses indukcióvektor definícióját. A Lorentz-féle erőtörvény:
A mezőket erővonalakkal szemléltethetjük.
A mező keltésének törvényei, a Maxwell-egyenletek, tapasztalati törvények általánosításából jöttek létre.
A Gauss-törvény 2
A Gauss-törvény a Coulomb- törvény általánosítása: az elektromos töltések maguk körül elektromos mezőt keltenek, az elektromos erővonalak a töltésekből indulnak ki, illetve futnak be. ∫ ∫
⋅ V F dV df ρ ε 0 1
E
Az Ampere-törvény A mozgó töltések (áramok) maguk körül mágneses mezőt hoznak létre, másképpen a mágneses mező forrásai az áramok. Maxwell lényeges észrevétele, hogy az időben változó elektromos fluxus (eltolódási áram) is mágneses mezőt kelt: ∫ ∫
+ = ⋅ F G df dt d I d n E s B 0 µ
Az időben változó mágneses fluxus örvényes elektromos mezőt kelt. A negatív előjel Lenz-törvénye. ∫ ∫ ⋅ − = ⋅ F G df dt d d E n B s
A negyedik törvény
A mágneses erővonalak zártak és nem létezik izolált mágneses pólus. Ezt fejezi ki a negyedik törvény: 0 = ⋅ ∫
df n B
A Gauss és Stokes integráltételek segítségével fölírjuk a Maxwell egyenletek differenciális alakját. 0 E ε ρ = ⋅ ∇ , ,
,
J B 0 0 & 0 ε µ µ + = × ∇ B E & − = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B
A kontinuitási egyenlet a természetben egyik legalapvetőbb törvény, a töltés megmaradását fejezi ki. 0 = + ⋅ ∇ ρ &
Minden lokális megmaradási törvény a fenti alakú. A kontinuitási egyenlet 3
levezethető a Maxwell egyenletekből. A levezetés kulcsa, hogy az eltolódási áram szerepeljen az Ampere törvényben. A töltésmegmaradás törvényének imtegrálus alakja. A Maxwell-egyenletek nem függetlenek. A kontinuitási egyenletet felhasználva a divergenciás egyenletek levezethetők a rotációs egyenletekből.
Egy töltött testen az elektromágneses mező munkát végez. A mező által végzett munka megegyezik a mező energiájának csökkenésével. Az elektromágneses mezőhöz rendelhető energia levezethető a munkatétel alapján. Kiindulás az elektromágneses mezőben mozgó töltés mozgásegyenlete, illetve a munkatétel. Másrészt a töltésen végzett munka kifejezését a Maxwell-egyenletek segítségével is föl lehet írni. A mennyiségek dimenziója alapján definiálható az elektromágneses mező energiasűrűsége és a Poynting-vektor (a felületen kiáramlott teljesítmény). A kapott eredmény megmaradási tétel alakú, eszerint a részecske és mező együttes energiájának változása a felületen időegység alatt kiáramlott elektromágneses energiával egyezik meg.
Hasonló megmaradási tétel felírható a lendületre is, itt levezetés nélkül. A részecske és a mező együttes lendületének megváltozása a határfelületen ébredő erővel (a felületen időegység alatt kiáramlott lendülettel) egyezik meg.
Elvileg a vákuumban felírt Maxwell-egyenletek közeg esetén is érvényesek, azonban a megoldásuk gyakorlatilag lehetetlen. Először is a töltött részekék száma nagyon nagy, másodszor makroszkopikus szempontból a mezők változása atomi méreteken belül nem lényeges. A makroszkopikus mérések a tényleges mező, illetve töltéseloszlás átlagát regisztrálják. Az anyagok elektromos és mágneses tulajdonságainak kezelésére további térjellemzőket (D és H) vezetünk be.
A D eltolódási vektor forrásai a makroszkopikus töltések. A H gerjesztettségi vektor forrásai a makroszkopikus áramok és az eltolódási áram. A Maxwell-egyenletek közegekben érvényes alakja differenciális alakban: ρ =
∇ D ,
, ,
D J H & + = × ∇ B E & − = × ∇ 0 = ⋅ ∇ B
Az egyenletek a Gauss- és a Stokes-tételek segítségével integrális alakban is megadhatók.
Lineáris közegek esetén az D(E) és a H(B) függvénykapcsolat konkrét alakja. A dielektromos állandó, elektromos szuszceptibilitás, a polarizációs vektor különböző anyagok esetén. A mágneses permeabilitás, mágneses szuszceptibilitás, a
4
mágnesezettségi vektor. Para-, dia- és ferromágneses anyagok. Ohm törvénye és a vezetőképesség.
A térjellemzők (D, E, B, H) viselkedése két közeg határán. Az eltolódási vektor normális komponense nem folytonos, ha van felületi töltéssűrűség. A mágneses indukcióvektor normális komponense folytonos. Bizonyítás a Gauss-törvény integrális alakjából kiindulva. Az elektromos térerősségvektor felületi irányú komponense folytonos, a gerjesztettségi vektor felületi komponense ugrást szenved, ha felületi áramok is vannak. Bizonyítás az Amper-törvény integrális alakjából kiindulva.
A legegyszerűbb alkalmazása a Maxwell-egyenleteknek az időben állandó, sztatikus mezők vizsgálata. Időben állandó töltések hozzák létre. A Maxwell egyenletekben sztatikus mezők esetén az időderiváltak nullák.
Mivel most , az elektrosztatikus mező konzervatív, amiből következik, hogy az elektromos mező egy skalárfüggvény segítségével leírható. . Φ neve skalárpotenciál, fizikai jelentése a mező által a próbatöltésen végzett munka, miközben a töltés az adott pontból a végtelenbe kerül. 0 = × ∇ E Φ −∇
E A Coulomb-törvényből kiindulva általánosításként megkapható a Gauss-törvény. A ponttöltés elektromos térerőssége és potenciálja. A potenciálegyenlet tetszőleges töltéssűrűség esetén. A potenciálegyenlet megoldásának felírása a szuperpozíció elve alapján. Néhány gondolat a ponttöltés töltéssűrűségéről és a Dirac-deltáról. Elektrosztatikai peremérték problémák: A potenciál-egyenlet megoldása különböző töltéseloszlások esetén. A tükörtöltés módszere végtelen vezető sík és vezető gömb esetére.
Véges térfogatot kitöltő (lokalizált) töltésrendszer potenciálja nagy távolságból nézve végtelen összegként felírható. Az egyes potenciáltagok az n-ed rendű multipólus- momentumok és távolság n-ik hatványának hányadosai, ahol a multipólus- momentumok kizárólag a töltésrendszerre jellemző mennyiségek, a távolságtól nem függenek. Megmutatjuk, hogy a nullad rendű momentum a rendszer össztöltése, az első rendű a dipólus-momentum, a másodrendű az elektromos kvadrupólus- momentum. Tehát nagy távolságból minden véges méretű töltésrendszer ponttöltésként közelíthető. Különböző töltéselrendezések dipólus és kvadrupólus momentumainak meghatározása.
5 Energiaviszonyok sztatikus mezőben
Megmutatjuk, hogy a mező energiája a töltések kölcsönhatási energiája, az a munka, amivel a mező fölépíthető a töltések egymásra hatását figyelembe véve. Véges töltésrendszer energiája külső elektromos mezőben. A külső mező lassan változik, forrásai messze vannak. Az energia kifejezése töltés⋅potenciál, dipólus⋅térerősség tagokkal kezdődik. A dipólus-dipólus kölcsönhatási energia. Az elektrosztatikus energia dielektromos közegben. A munka egy része a közeg megfelelő polarizációs állapotának létrehozására fordítódik. Az eredmény azonos az elektrosztatikus kölcsönhatási energiára kapott kifejezéssel. Az elektromos energiasűrűség kifejezése lineáris közeg esetén. A kapacitás definíciója. Különböző elrendezések kapacitásának meghatározása.
Bevezetés
Stacionárius áramok által keltett mező. A kontinuitási egyenlet stacionárius áramokra. Mivel
, a B mágneses indukcióvektor egy A vektorpotenciálból származtatható 0 =
∇ B A B × ∇ = szerint. A vektorpotenciál egyenlete ugyanolyan alakú, mint a skalárpotenciál egyenlete az elektrosztatikában. A sztatikus elektromos mezővel való analógia alapján rögtön fölírható a potenciálegyenlet megoldása. A Biot-Savart-törvény
A vektorpotenciál rotációját véve az indukcióvektorra kapott kifejezés a jól ismert Biot-Savart törvény. A Biot-Savart törvény árammal átjárt vezetőre, és v sebességgel mozgó töltésre.
A mágneses mező nagy távolságból első közelítésben olyan, mint egy elektromos dipólus tere. Mágneses momentumok. Áramhurok és mozgó töltés mágneses momentuma. A mágneses momentum ás a spin kapcsolata. Lokalizált árameloszlásra ható erő és forgatónyomaték külső mágneses mezőben. Mágneses tükrök.
, k
vázisztatikus mezők
A Faraday-féle indukciós törvény figyelembevétele, a kvázisztatikus mező közelítés. A mágneses mezőben tárolt energia, mint a mező fölépítéséhez szükséges munka. A mágneses energia és energiasűrűség kifejezése mágnesezhető közeg jelenlétében. Analógia az elektrosztatikus mezők megfelelő mennyiségeivel. Az ön- és kölcsönös indukció definíciója, egyszerű áramkörök indukciós együtthatónak meghatározása.
6 Elektromágneses síkhullámok, hullámterjedés A Maxwell-egyenletek fontos tulajdonsága az energiát szállító, haladó hullám alakú megoldások létezése. A legegyszerűbb és legalapvetőbb elektromágneses hullámok transzverzális síkhullámok. Csak a síkhullámok terjedésével foglalkozunk, a hullámok forrásainak vizsgálata az Elektrodinamika haladó kurzus témakörébe tartozik.
Elektromágneses síkhullám fogalma, tulajdonságai. A síkhullám megoldás kielégíti a hullámegyenletet, illetve a Maxwell-egyenleteket. Transzverzális jelleg, az energia kifejezése és energiaterjedés a síkhullámban. Monokromatikus síkhullámok.
Monokromatikus síkhullámban az E és B vektorok végpontja szabályos görbét (ellipszist) ír le: a hullám elliptikusan poláros. Lineárisan és cirkulárisan polarizált hullámok. A fordított probléma adott síkhullám polarizációs állapotának meghatározása. A Stokes-paraméterekkel a hullám polarizációs állapotának felírása, geometriai szerkesztés.
Jól ismert és gyakorlati szempontból fontos az eltérő közegek sík határfelületén bekövetkező fényvisszaverődés és fénytörés jelensége. Kinematikai jellemzők: 1. A beesés szöge egyenlő a visszaverődés szögével. 2. Snellius-Descartes törvény. Dinamikai jellmezők: 1. A visszavert és megtört sugárzás intenzitása 2. Fázisbeli és polarizációs változások. A fenti törvények levezetése a határföltételi egyenletek felhasználásával. A reflexiós polarizáció. Teljes visszaverődés energiaviszonyai.
Anyagi egyenletek anizotrop közegben, a dielektromos tenzor tulajdonságai. Monokromatikus síkhullámok állapotvektorainak iránya a Maxwell-egyenletek alapján a kristályban. Az energia kifejezése, az energia terjedés iránya. Egyszerű geometriai modell a kettős törés meghatározására. Az optikai tengely fogalma, egy- és kéttengelyű kristályok.
A dielektromos állandó frekvenciafüggése miatt számos új jelenség lép föl a hullámok terjedésében. A megértéshez első lépés a dielektromos állandó
7 frekvenciafüggésének elemi modellje. Normális diszperzió és rezonáns abszorpció. Az elektromos vezetőképesség Drude-féle modellje. Alacsony frekvenciás határeset, magas frekvenciás határeset, a plazmafrekvencia. Síkhullámok terjedése vezetőkben. A szkin-effektus.
Az elektromágneses hullámok keltésének alapjait tárgyalja ez a fejezet. Az inhomogén hullámegyenlet levezetése a Maxwell-egyenletekből. Az inhomogén hullámegyenlet megoldásainak az ún. retardált potenciáloknak tulajdonságai. A legegyszerűbb sugárzó rendszer, a harmonikusan rezgő pontszerű dipólus vizsgálata. Az elektromos és mágneses erővonalak, a kisugárzott energia.
8 A speciális relativitáselmélet alapjai Bevezetés
A speciális relativitáselmélet abból a kérdéskörből nőtt ki, hogy milyen vonatkoztatási rendszerben érvényesek az elektrodinamika törvényei, ezért tárgyaljuk az elektrodinamikához kapcsolódva. A relativitáselmélet túlnő az eredeti kérdéskör megválaszolásán, és ma egész fizikai világképünk alapjának tekintjük. Kidolgozásában jelentős szerepet játszott Lorentz, Poincaré, Laue, Planck és mások, a legfőbb érdem azonban Einstené.
A vonatkoztatási rendszerről a Newton-axiómák adnak felvilágosítást. A Newton- axiómák felidézése. Globális és lokális inerciarendszerek. A Galilei-féle relativitási elv szerint végtelen sok inerciarendszer létezik, az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző rendszerek inerciarendszerek a mechanikai jelenségek szempontjából. Az inerciarendszerek kapcsolata a Galilei transzformáció. A newtoni mozgásegyenletek teljesítik a Galilei elvet.
Már Maxwell tudta, hogy egyenletei nem invariánsak a Galilei transzformációval szemben. Egy példa: síkhullám fázisának változása. Következtetés: Ha a Galilei- transzformáció igaz, akkor az elektrodinamika egyenletei kitüntetnek egy vonatkoztatási rendszert. Ez az éterhez rögzített rendszer. A Michelson-kísérlet az abszolút koordunátarendszer létezésének kimutatására szolgált. Próbálkozások a kísérlet kudarcának megmagyarázására.
1.
egyenértékűek, semmilyen fizika jelenség sem tüntet ki vonatkoztatási rendszert. 2.
vonatkoztatási rendszertől független fizikai állandó. A posztulátumok következményei: nincs abszolút idő. Az esemény (abszolút és relatív vonatkozások), a megfigyelő fogalma. Az idő, az időmérés, az órák szinkronizálása, azaz a koordinátarendszerben mért idő beállítása. Helykoordináták, a hosszúság mérése nyugvó és mozgó tárgyak esetén. Az egyidejűség, az idődilatáció, a hosszúságkontrakció szemléltetése egyszerű példákon keresztül.
Az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszereket a Galilei-transzformáció helyett a Lorentz–transzformáció kapcsolja össze. A Lorentz-transzformáció levezetése pusztán a posztulátumok felhasználása segítségével. Kiindulás: egy esemény hely- és időkoordinátái között lineáris
9 kapcsolatnak kell fennállnia. A Lorentz-transzformáció vizsgálata, kis sebességre visszaadja a Galilei-transzformációt, a fénysebesség határsebesség volta.
1. A négyestávolság invarianciája. A négyestávolság két esemény távolsága a téridőben. 2. Az egyidejűség. Két esemény időbeli különbsége a koordinátarendszerektől függ. 3. Hosszúságkontrakció. Egy test x irányú hosszúsága abban a vonatkoztatási rendszerben a legnagyobb, ahol nyugszik. Példák hosszúságkontrakcióra, a mérés és látás különbsége. 4. Idődilatáció. Mozgó órák lassabban járnak. 5. Sajátidő. Abban a koordinátarendszerben mért idő, amelyben a részecske pillanatnyilag nyugszik. A sajátidő invariáns (koordinátarendszetől független). Egy kísérleti bizonyíték a müon élettartama. Az ikerparadoxon tárgyalása tér-idő diagrammal. 6. A relativisztikus Doppler-eltolódás. A frekvencia és a hullámszám transzformációja. 7. A sebességek transzformációja. A fénysebesség mint határsebesség.
Egy bomlási példa kapcsán bemutatjuk, hogy a lendület alakja a relativitáselméletben nem lehet mv. A lendület relativisztikus alakjának megállapítása a posztulátumok és a Newton- axiómákból következő (tapasztalati) tények alapján. Két pontszerű test rugalmas ütközésének elemzése tömegközépponti, majd az egyikkel együtt mozgő rendszerből.
Az erő most is a test lendületének megváltozása. A kinetikus energiát kalsszikusan a munkatétel definiálja. A munka definíciója változatlan, így a munkatétel felírása a kinetikus energiát fogja megadni. A test teljes energiája, és a nyugalmi energia. Az energia és a lendület összefüggése. Az állandó gyorsulású mozgás relativisztikus tárgyalása.
10 Yüklə 76,67 Kb. Dostları ilə paylaş:
|