Funksiyanın törəməsi. Törəmənin mexaniki və həndəsi mənası

Mürəkkəb və tərs funksiyaların törəmələri

Əvvəlcə mürəkkəb funksiyanın törəməsi haqqında teoremi isbat edək.

Teorem 1. Tutaq ki, funksiyasının nöqtəsində, funksiyasının isə uyğun nöqtəsində sonlu törəməsi var. Onda mü­rəkkəb funksiyasının da nöqtəsində sonlu törəməsi var və


(14)
düsturu ilə hesablanır.


İsbatı. və funksiyalarının öz arqumentinə nəzərən törə­mələri olduğundan limitlə sonsuz kiçilərlər arasındakı əlaqəyə əsasən


(15)
və
(16)

düsturlarını yaza bilərik. Burada və sonsuz kiçilənlərdir,  ,  .

(16) ifadəsini (15)-də nəzərə alsaq, ol­duğunu alarıq. Bu bərabərliyin hər tərəfini -ə bölüb sadələşdirsək, olduğunu alarıq. Sonsuz kiçilənlərin xassəsinə əsasən sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində yerləşən mötərizə içərisində yerləşən ifadə -da sıfıra yaxınlaşar. Odur ki, bu bərabərlikdə şərtilə limitə keçsək,
və ya
olduğunu alarıq. Teorem 1 isbat olundu.
İndi isə tərs funksiyanın törəməsi haqqında teoremi isbat edək.


Teorem 2. intervalında törəməsi və birqiymətli tərs funksiyası olan funksiyasının şərtini ödəyən istənilən x nöqtəsi üçün tərs funksiyasının da uyğun nöqtəsində törəməsi var və bu törəmə
(17)
düsturu ilə tapılır.


İsbatı. funksiyasının birqiymətli tərs funksiyası olduğu üçün və bu funksiya kəsilməz olduğu üçün olduqda və olduğu üçün bərabərliyində limitə keç­sək, və ya olduğunu alarıq.
Teorem 2 isbat olundu.
Bu teoremin isbatını aşağıdakı ki­mi əsaslandırmaq olar. Məlumdur ki, törəməsi funksiya­sı­nın qra­fikinə nöqtəsində çə­ki­lən toxunanın absis oxu ilə əmələ gə­tirdiyi bucağın tangensinin qiymə­ti­ni göstərir, yəni ; tərs funksiyasının da qrafiki həmin qrafik olar (şəkil). Lakin burada arqument rolunu dəyişəni oynadığından törəməsi nöqtəsindəki həmin toxunanın ordinat oxu ilə əmələ gətirdiyi bucağının tangensinin qiymətinə bə­rabər olacaq, yəni olar. Onda olduğundan olduğunu alarıq ki, bu da teormin həndəsi isbatı olur.