Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

A MAXWELL-EGYENLETEK
8
Az elektromágneses indukció jelensége nem függ attól, hogy a térben van-e zárt vezető, vagy nincs. Az időben változó mágneses tér elektromos
teret kelt a vezetőtől függetlenül. Ha történetesen vezető van a változó mágneses térben, akkor az 
E hatására áram indul meg. A (3,4) egyenlet tehát
tetszőleges zárt görbére igaz. A bal oldali körintegrált Stokes tételével felületi integrállá alakítjuk:
 ((3,5). egyenlet).
(3,5)-öt behelyettesítjük a (3,4) bal oldalára, és feltételezzük, hogy az F integrációs tartomány időben nem változik (a zárt görbe nyugszik), és így
az idő szerint vett differenciálás az integráljel alá vihető:
 ((3,6). egyenlet).
Mivel ez az egyenlet tetszőleges F felületre érvényes, az integranduszok megegyeznek egymással:
 ((3,7). egyenlet)
(11. ábra). Ez az egyenlet fejezi ki a Faraday-féle indukciótörvényt differenciálegyenlet alakjában. Ez a harmadik Maxwell-egyenlet.
11. ábra -
4, div B = 0
Gondoljunk el a térben egy V tartományt, amelyet az F zárt felület határol (12. ábra). A mágneses indukcióvektor értéke a tér bármely pontjában
meghatározható a bevezetésben említett méréssel. Tételezzük fel, hogy 
B az F felület minden pontjában ismert. Ezek után képezhető a B vektor
F felület menti külső normálisának F-re vett integrálja:
.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
9
12. ábra -
A tapasztalat azt mutatja, hogy ez az integrál a felület választásától függetlenül mindig zérus:
 ((4,1). egyenlet).
Szemléletesen ez azt jelenti, hogy az F felületen be- és kimenő mágneses indukcióvonalak számának összege zérus. Más szóval: a vonalaknak
nincs a tartományon belül forrásuk. Mivel a (4,1) integrál bármely zárt felületre eltűnik, a mágneses indukcióvonalaknak sehol nincs forrásuk, azok
zárt görbék.
A (4,1) egyenlet bal oldalán levő felületi integrál a Gauss–Osztrogradszkij-tétellel térfogati integrállá alakítható:
 ((4,2). egyenlet).
Mivel ez az integrál a tapasztalat szerint a térfogattól függetlenül zérus, az integrandusznak mindenütt el kell tűnnie:
 ((4,3). egyenlet).
Ez az egyenlet a negyedik Maxwell-egyenlet. Azt a tapasztalati tényt fejezi ki, hogy a természetben mágneses töltések nincsenek, a mágneses
indukció vektortere mindenütt forrásmentes.
A mágneses alapfogalmak bevezetésekor rámutattunk az elektromos és mágneses tér közötti lényeges különbségre. Említettük, hogy az utóbbit nem
töltések, hanem mágneses momentumok keltik, mágneses töltések nincsenek. A (4,3) egyenlet ezt a mély igazságot fejezi ki, amely szemléletesen azt
jelenti, hogy a mágneses indukcióvonalaknak nincsen sem kezdetük, sem végük, azok mindig zárt görbék, ellentétben az elektromos térrel, amelynek
forrásai a töltések; következésképpen az elektromos indukcióvonalak töltésből indulnak ki, és töltésbe torkollnak be [lásd az (1,7) egyenletet].
A Maxwell-egyenletek
Az előző fejezetekben pontokban tapasztalati tények alapján megfogalmaztuk azokat az alapegyenleteket, amelyekre – mint szilárd tartóoszlopokra
– épül az elektromos és mágneses jelenségek elmélete: az elektrodinamika.

---

A MAXWELL-EGYENLETEK
10
Foglaljuk össze ezeket most egy egyenletrendszerbe:
 ((5,1). egyenlet)
Az I–IV. egyenleteket nevezzük Maxwell-egyenleteknek. Ezek segítségével az elektromágneses jelenségek igen széles köre – benne az optikai
jelenségek is – elméleti úton magyarázhatók. Tanulmányainkban látni fogjuk, hogy nincs a fizikának még egy egyenletrendszere, amely ilyen széles
jelenségkört ekkora egzaktsággal képes leírni.
Az elektrodinamika alapproblémája a következő: megadott töltés- és árameloszlás elektromágneses terét keressük. Ezt a problémát a Maxwell-
egyenletek integrálásával oldjuk meg. Adott tehát a 
j, ϱ, v mint a helynek és időnek a függvénye, és keressük a teret leíró E, D, H, B vektorokat
a hely és idő függvényeként.
Mint korábban említettük, az 
E és D, valamint a H és B nem függetlenek egymástól; közöttük a teret kitöltő makroszkopikus anyagi közegtől függő
kapcsolatok állnak fenn. Ezért az (5,1) egyenleteket ki kell egészítenünk ezekkel az anyagi egyenletekkel. Vákuumban 
E megegyezik D-vel, H pedig
B-vel. Ettől az esettől eltekintve, a legegyszerűbb összefüggések izotrop közegek esetén állnak fenn. Ekkor
 ((5,2). egyenlet);
 ((5,3). egyenlet).
ε és μ a közegre jellemző mennyiségek: ε a dielektromos együttható, μ pedig a mágneses permeabilitás. Általános esetben ε és μ függhet a helytől,
a hőmérséklettől és az anyag sűrűségétől. Abban a speciális esetben, ha ε és μ állandó, a közeget homogén izotropnak mondjuk. Könyvünk jelentős
részében ezzel az esettel foglalkozunk.
Az I–IV. Maxwell-egyenleteket az (5,2), (5,3) egyenleteken kívül még egy egyenlettel ki kell egészítenünk, amely kapcsolatot teremt a vezetőkben
folyó áram sűrűsége és az áramot létrehozó elektromos tér erőssége között. A vezetőben folyó áram sűrűsége vagy intenzitása ugyanis általában
nem adott, hanem a vezetőben kialakult elektromos tér kelti. A tapasztalat azt mutatja, hogy az elektromos tér hatására meginduló áram erőssége
függ a vezető anyagi minőségétől is; felvetődik a kérdés: milyen összefüggés van a vezetőben folyó áram erőssége és az azt létrehozó térerősség
között? A választ kísérleteinek eredményeként G. S. Ohm adta meg 1821-ben. Ez a kísérleti fizikában Ohm-törvény néven ismert összefüggés a
következőképpen fogalmazható meg. Tekintsünk egy vékony vezetőszakaszt (vezető drótot), és a két közeli P
1
, P
2
 pontja közötti potenciálkülönbséget
jelöljük  ΔΦ-vel.  (A  kísérleti  fizikai  tanulmányainkból  tudjuk,  hogy  a  ΔΦ  potenciálkülönbségen  azt  a  munkát  értjük,  amelyet  az  elektromos  tér
akkor végez, ha a pozitív egységnyi töltést az áram irányában elmozgatja az egyik ponttól a másikig, esetünkben P
1
-től P
2
-ig, lásd a 13. ábrát).

---