II. 2. Xarakteristik funksiyaning asosiy xossalari.
ehtimollik fazosida tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:
(1)
bu yerda t-haqiqiy son, esa ning taqsimot funksiyasi. Agar tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi mavjud bo’lsa, u holda
bo’ladi, bu esa funksiya Fur’e almashtirishning o’zidir.
Umuman olganda, xarakteristik funksiya taqsimot funksiyaning Fur’e-Stilt’es almashtirishdir.
Ushbu
tengsizlikdan ixtiyoriy tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi.
Bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisining xossalarini o’rganishda xarakteristik funksiyalar metodi juda qulay metodlardan biri hisoblanadi.
1. Ihtiyoriy tasodifiy miqdor uchun va barcha t lar uchun .
2.
Darhaqiqat,
3. Agar o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda yig’indining xarakteristik funksiyasi ga teng.
Isbot.
4. xarakteristik funksiya da tekis uzluksizdir.
Isbot.
Bu yerda berilgan uchun N ni tanlash hisobiga qilish mumkin, so’ngra ni shunday tanlashimiz mumkinki, bo’ladi, natijada
5. bu year funksiya ustidagi chiziqcha kompleks qo’shmani bildiradi. Bu xossaning isboti
tenglikdan kelib chiqadi.
6. Poya teoremasi. Faraz qilaylik, funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
a)
b) uzluksiz, juft va botiq, u xolda biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo’ladi.
Bu teoremani isbotini keltirmaymiz.
7. Agar bo’lsa, xarakteristik funksiya n-tartibli uzluksiz hosilaga ega va quyidagi tengliklar o’rinli:
bu yerda da va barcha t larda
Isbot. Quyidagi ifodani qaraymiz:
Ma’lumki, hamda shartga ko’ra da
U holda majorant yaqinlashish haqidagi teoremag a binoan
mavjud va ifodaga teng, shuning uchun
Shunga o’xshash,
tengsizlikdan foydalanib, formula isbotlanadi, hamda dan kelib chiqadi.
ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz, u holda haqiqiy y lar uchun
Shuning uchun
Bu yerda va -tasodifiy miqdorlar va
Endi
hamda
Funksiya uchun majorant yaqinlashish haqidagi teoremani e’tiborga olsak, Shunday qilib, ga asosan kelib chiqadi.
Endi ko’p ishlatiladigan taqsimot funksiyalarning xarakteristik funksiyalarini hisoblaylik.
1-misol. Agar bir ehtimol blan bo’lsa, bo’ladi.
2-misol. Faraz qilaylik, tasodifiy miqdor uchun bo’lsin, u xolda
3- misol. O’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin va
Quyidagi yig’indini tuzamiz. U holda 3- xossaga ko’ra
Agar normallashtirilgan va markazlashtirilgan
Tasodifiy miqdorni olsak, u holda 2-xossaga asosan
Dostları ilə paylaş: |