Mavzu: xarakteristik funksiyalar

II. 2. Xarakteristik funksiyaning asosiy xossalari.

        ehtimollik fazosida   tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin.

Ta’rif. Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:

                        (1)

bu yerda  t-haqiqiy son,   esa   ning taqsimot funksiyasi. Agar   tasodifiy miqdorning  zichlik  funksiyasi   mavjud bo’lsa,  u holda

bo’ladi,  bu esa   funksiya Fur’e  almashtirishning  o’zidir.

Umuman olganda,   xarakteristik funksiya   taqsimot funksiyaning  Fur’e-Stilt’es  almashtirishdir.

Ushbu                                          

tengsizlikdan  ixtiyoriy   tasodifiy miqdorning  xarakteristik  funksiyasi mavjudligi kelib chiqadi.

         Bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy miqdorlar  yig’indisining  xossalarini o’rganishda  xarakteristik  funksiyalar  metodi  juda qulay  metodlardan  biri hisoblanadi.

1.            Ihtiyoriy   tasodifiy  miqdor  uchun    va barcha  t lar uchun  .

2.     

Darhaqiqat,  

3.     Agar   o’zaro  bog’liq  bo’lmagan  tasodifiy  miqdorlar bo’lsa,  u holda     yig’indining  xarakteristik  funksiyasi       ga teng.

         Isbot.

4.         xarakteristik funksiya   da tekis  uzluksizdir.

Isbot.

Bu yerda berilgan   uchun N  ni tanlash  hisobiga   qilish mumkin,  so’ngra   ni shunday  tanlashimiz mumkinki,    bo’ladi, natijada     

5.      bu year funksiya ustidagi chiziqcha kompleks qo’shmani bildiradi. Bu xossaning isboti

                                      

tenglikdan kelib chiqadi.

6.                Poya teoremasi. Faraz qilaylik,  funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

a)     

b)      uzluksiz, juft va botiq, u xolda    biror taqsimot funksiyaning  xarakteristik  funksiyasi  bo’ladi.

Bu teoremani isbotini keltirmaymiz.

7.     Agar   bo’lsa,   xarakteristik funksiya  n-tartibli  uzluksiz hosilaga ega va quyidagi tengliklar o’rinli:

         bu yerda   da  va barcha t larda

         Isbot.  Quyidagi  ifodani  qaraymiz:

         Ma’lumki,   hamda  shartga ko’ra   da 

         U holda  majorant  yaqinlashish  haqidagi  teoremag a binoan

         mavjud va      ifodaga teng, shuning uchun

Shunga o’xshash,                   

tengsizlikdan foydalanib,    formula isbotlanadi,  hamda   dan   kelib chiqadi.

           ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz,  u holda haqiqiy  y lar uchun

Shuning uchun

Bu yerda   va  -tasodifiy miqdorlar va 

Endi                                 

hamda 

Funksiya uchun majorant  yaqinlashish  haqidagi  teoremani e’tiborga olsak,   Shunday qilib,   ga asosan   kelib chiqadi.

         Endi ko’p ishlatiladigan taqsimot funksiyalarning xarakteristik funksiyalarini hisoblaylik.

         1-misol. Agar bir ehtimol blan  bo’lsa,  bo’ladi.

         2-misol. Faraz qilaylik,   tasodifiy miqdor  uchun   bo’lsin, u xolda 

         3- misol. O’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan   tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin va

Quyidagi  yig’indini  tuzamiz. U holda 3- xossaga ko’ra

Agar normallashtirilgan  va markazlashtirilgan

Tasodifiy miqdorni  olsak,  u holda 2-xossaga asosan