Teorema(Chebishev). Agar X t.m. DX dispersiyaga ega bo‘lsa, u holda uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli:
(5.1.1)
(5.1.1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi.
Isboti. ehtimollik X t.m.ning oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda . U holda
,
chunki integrallash sohasini ko‘rinishda yozish mumkin. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak,
. ■
Chebishev tengsizligini quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
(5.1.2)
Chebishev tengsizligi ihtiyoriy t.m.lar uchun o‘rinli. Xususan, X t.m. binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘lsin, . U holda va (5.1.1) dan
; (5.1.3)
n ta bog‘liqsiz tajribalarda ehtimolligi , dispersiyasi bo‘lgan hodisaning chastotasi uchun,
. (5.1.4)
X t.m.ni oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi.
Teorema(Markov). Manfiy bo‘lmagan, matematik kutilmasi MX chekli bo‘lgan X t.m. uchun da
(5.1.5)
tengsizlik o‘rinli.
Isboti. Quyidagi munosabatlar o‘rinlidir:
. ■
(5.1.5) tengsizlikdan (5.1.1) ni osongina keltirib chiqarish mumkin.
(5.1.5) tengsizlikni quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:
. (5.1.6)
1.-misol. X diskret t.m.ning taqsimot qonuni berilgan:
Chebishev tengsizligidan foydalanib, ehtimollikni baholaymiz. X t.m.ning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: ; .
Chebishev tengsizligiga ko‘ra:
Dostları ilə paylaş: |
