Mavzu: xarakteristik funksiyalar

II. 5. Ko’p o’lchovli xarakteristik funksiyalar
Bir o‘lchovli t.m.lardan tashqari, mumkin bo‘lgan qiymarlari 2 ta, 3 ta, ..., n ta son bilan aniqlanadigan miqdorlarni ham o‘rganish zarurati tug‘iladi. Bunday miqdorlar mos ravishda ikki o‘lchovli, uch o‘lchovli, … , n o‘lchovli deb ataladi.

Faraz qilaylik, ehtimollik fazosida aniqlangan t.m.lar berilgan bo‘lsin.

• 
  vektorga tasodifiy vektor yoki n-o‘lchovli t.m. deyiladi.
  

Ko‘p o‘lchovli t.m. har bir elementar hodisa ga n ta t.m.larning qabul qiladigan qiymatlarini mos qo‘yadi.

• 
  n o‘lchovli funksiya tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki t.m.larning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
  

Qulaylik uchun taqsimot funksiyani indekslarini tushirib qoldirib, ko‘rinishida yozamiz.

funksiya tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Ko‘p o‘lchovli taqsimot funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:

1. , ya’ni taqsimot funksiya chegaralangan.

2. funksiya har qaysi argumenti bo‘yicha kamayuvchi emas va chapdan uzluksiz.

3. Agar biror bo‘lsa, u holda

(3.1.1)

4. Agar biror bo‘lsa, u holda .

3-xossa yordamida keltirib chiqarilgan (3.1.1) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy) taqsimot funksiya deyiladi. tasodifiy vektorning barcha marginal taqsimot funksiyalari soni ga tengdir.

Masalan, (n=2) ikki o‘lchovlik tasodifiy vektorning marginal taqsimot funksiyalari soni ta bo‘lib, ular quyidagilardir: .

Soddalik uchun n=2 bo‘lgan holda, ya’ni (X,Y) ikki o‘lchovlik tasodifiy vector bo‘lgan holni ko‘rish bilan cheklanamiz.

Bernulli teoremasi katta sonlar qonuninig sodda shakli hisoblanadi. U nisbiy chastotaning turg‘unligini asoslaydi.

Teorema(Bernulli). Agar A hodisaning bitta tajribada ro‘y berishi ehtimolligi p bo‘lib, n ta bog‘liqsiz tajribada bu hodisa marta ro‘y bersa, u holda uchun
(5.2.4)

munosabat o‘rinli.

Isboti. indikator t.m.larni quyidagicha kiritamiz: agar i-tajribada A hodisa ro‘y bersa, ; agar ro‘y bermasa . U holda ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: . t.m.ning taqsimot qonuni ixtiyoriy i da: bo‘ladi. t.m.ning matematik kutilmasi ga, dispersiyasi . t.m.lar bog‘liqsiz va ularning dispersiyalari chegaralangan, U holda Chebishev teoremasiga asosan: va ; bo‘lgani uchun . ■