Mavzu: xarakteristik funksiyalar

Markaziy limit teorema

Markaziy limit teorema t.m.lar yig‘indisi taqsimoti va uning limiti – normal taqsimot orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan t.m.lar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.

Teorema. bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bo‘lsin, u holda t.m.ning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi

. (5.3.1)

Demak, (5.3.1) ga ko‘ra yetarlicha katta n larda , yig‘indi esa quyidagi normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi: . Bu holda t.m. asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.

III. XULOSA

Ehtimollar nazariyasi va uning tadbiqlarida ko‘pincha yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Yig‘indidagi har bir t.m.ning tajriba natijasida qanday qiymatni qabul qilishini oldindan aytib bo‘lmaydi. Shuning uchun katta sondagi t.m.lar yig‘indisining taqsimot qonunini hisoblash burmuncha qiyinchilik tug‘diradi. Lekin ma’lum shartlar ostida yetarlicha katta sondagi t.m.lar yig‘indisi tasodifiylik xarakterini yo‘qotib borar ekan. Amaliyotda juda ko‘p tasodifiy sabablarning birgalikdagi ta’siri tasodifga deyarli bog‘liq bo‘lmaydigan natijaga olib keladigan shartlarni bilish juda muhimdir. Bu shartlar “Katta sonlar qonuni” deb ataluvchi teoremalarda keltiriladi. Bular qatoriga Chebishev va Bernulli teoremalari kiradi.

Ehtimol ehtimollik nazariyasining matematik apparati takomillashishda davom etdi. O'sha paytda uni qo'llashning asosiy sohasi tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan kuzatuvlar natijalarini matematik qayta ishlash, shuningdek sug'urta biznesidagi xavflarni hisoblash va boshqa statistik ko'rsatkichlar edi. Ehtimollik nazariyasi va 19-asrning matematik statistikasining asosiy amaliy muammolaridan quyidagilar:

Xuddi shu (ma'lum) taqsimot qonuniga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi berilgan chegaralar ichida bo'lishi ehtimolini toping. Ushbu muammo o'lchov xatolar nazariyasi uchun, birinchi navbatda, kuzatishlar xatolarini baholash uchun alohida ahamiyatga ega edi;

19-asrning o'rtalariga kelib, artilleriya o'qlarining ehtimoliy nazariyasi shakllanmoqda. Evropaning aksariyat mamlakatlarida milliy statistika tashkilotlari tashkil etilgan. Asr oxirida ehtimoliy usullarni qo'llash sohasi fizika, biologiya, iqtisod va sotsiologiyaga muvaffaqiyatli kengaya boshladi.