Mavzu: xarakteristik funksiyalar

4-misol. Faraz qilaylik,   standart  N(0,1) normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.  U xolda

Agar   tasodifiy miqdor    normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa,  u holda  2-xossaga asosan

Buni  o’zingiz  mustaqil  isbotlashga  urinib  ko’ring.

 

II. 3. Teskari almashtirish formulalari.

         Har bir tasodifiy miqdor uchun unga mos xarakteristik funksiya mavjudligini  avvalgi  paragrafda  ko’rdik. Turli taqsimot  funksiyalarga turli xarakteristik  funksiyalar mos  keladi  hamda taqsimot funksiya xarakteristik funksiya orqali  bir qiymatli aniqlanadi.

         Teorema. Agar  funksiyalar mos ravishda   tasodifiy miqdorning  xarakteristik  va  taqsimot  funksiyalari  bo’lsa  hamda   va      funksiyaning uzluksiz nuqtalari  bo’lsa, u holda

                                         

Bu teoremadan quyidagi atijani isbotlash mumkin: agar   absolyut integrallanuvchi  bo’lsa, u holda   mavjud, uzluksiz, chegaralangan va   

Isbot. Quyidagi integralni hisoblaymiz:

Agar integral ostidagi funksiyalarning   oraliqda chegaralanganini  e’tiborga olsak,

Matematik analiz kursidan ma’lumki,

                                                         

Ushbu                                                                

ifoda c bo’yicha tekis chegaralangandir. Demak,

Bevosita  ishonch  hosil qilish mumkinki,   va   lar uchun

Natijada

                             

Shu bilan birga   dan va  funksiyaning juftligidan

Agar   va    nuqtalarni   funksiyaning  uzluksiz  nuqtalari ekanligini e’tiborga olsak, oxirgi tenglikdan

                               

ifoda hosil bo’ladi. Agar  integralni

ko’rinishda ifodalash mumkinligini e’tiborga olsak,  ,   lardan va oxirgi tenglikdan teorema isboti kelib chiqadi.

         Natija. Yagonalilik teoremasi. Taqsimot funksiya  o’z  xarakteristik funksiyasi orqali bir qiymatli aniqlanadi. Agar   ayirma   da   funksiyani bir qiymatli aniqlashini  e’tiborga olsak, u holda yuqoridagi teoremadan natijaning isboti kelib chiqadi.

         Xarakteristik funksiyalardan foydalanib, normal qonuning quyidagi muhim xossasini keltiramiz. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan bog’liq bolmagan   va   tasodifiy miqdorlarning yig’indisi yana normal taqsimotga ega bo’ladi.

         Xaqiqatdan ham, bog’liq bo’lmagan   va  tasodifiy miqdorlar mos ravishda   va  parametrlar bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda   yig’indining xarakteristik funksiyasi:

Demak,  yig’indi parametrli  normal taqsimotga ega.

         Aksincha,   va   xarakteristik funksiyalar uchun

bo’lsa, u holda

   

bo’lishligini   G. Karmer isbotlagan, ya’ni o’zaro bog’liq bo’lmagan   va   tasodifiy miqdorlar yig’indisi   normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, u holda qo’shiluvchilarning  har biri ham normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.

           parametrli  Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin. Uning  xarakteristik  funksiyasi quyidagiga teng:

         Endi o’zaro bog’liq bo’lmagan   va   tasodifiy miqdorlar mos ravishda   va   parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’lsin.  Ular yig’indisining  xarakteristik  funksiyasi quyidagiga teng:

Demak,   tasodifiy miqdor   parametrli Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan bo’ladi.