Teoerema 5.4. (Fiddler teoremasi).
Agar
s
s
o’lchovli G matritsa M
–matritsa bo’lsa, u holda
n
n
o’lchovli A matritsa regulyar bo’ladi.
Isboti.
Faraz qilaylik
0
A
bo’lsin. U holda
0
x
da
0
Ax
bo’ladi.
(5.21) va
1
2
.
5
ga asosan (5.26)ni hosil qilib, uni quyidagicha yozamiz:
)
,..,
2
,
1
(
0
0
1
1
1
s
x
A
x
A
s
(5.30)
Avval barcha
0
x
bo’lsin. U holda (5.30) da
x
oldidagi koeffisientlarni
ortirib, ya’ni
1
1
A
ni qandaydir
1
1
~
A
G
bilan alamshtirib, (5.30)
tengsizliklardan quyidagi tengliklar sistemasini hosil qilamiz:
127
)
,..,
2
,
1
(
0
~
0
1
s
x
A
x
g
s
buni matritsali ko’rinishda quyidagicha yozamiz:
0
~
G
,
bu yerda
𝐺 =
̃ (
𝐺̃
11
−|𝐴
12
|
… −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
𝐺̃
22
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
𝐺̃
𝑠𝑠
)
,
T
s
x
x
,.....,
0
1
.
Bundan
0
~
G
.
Ikkinchi tomondan, M –matritsaning ta’rifiga ko’ra
0
~
G
G
ekanligi kelib chiqadi. Biz
0
A
deb faraz qilib, qarama-qarshilikka keldik.
Agar qandaydir
0
x
bo’lsa, u holda (5.30) munosabatlardan faqat
0
x
shartni qanoatlantiruvchi
qiymatlariga moslarini olamiz.
Yuqoridagi mulohazalrni so’zma-so’z takrorlab,
G
ning o’rniga G
matritsaning qandaydir bosh minorini olib, yana qarama-qarshilikka kelamiz.
Teorema to’la isbotlandi.
§5. Gershgoran doirasi va boshqa lokallashtirish sohalari.
n
k
i
ik
a
A
1
,
ixtiyoriy
n
n
o’lchovli, kompleks elementli matritsa bo’lib,
uning qandaydir
harakteristik soni bo’lsin. U holda
E
A
xos matritsa bo’lib, uning uchun
Adamarning barcha shartlari bajarilishi mumkin emas, ya’ni quyidagi
munosabatlardan xech bo’lmaganda bittasi o’rinli bo’lishi kerak:
128
)
,..,
2
,
1
(
1
n
i
a
a
n
i
j
j
ij
ii
(5.31)
(5.31) munosabatlarning har biri
-kompleks tekkislikdagi
ii
a
markazli,
n
i
j
j
ij
a
1
radiusli qandaydir doirani aniqlaydi. Biz gershgorin tomonidan 1931 yilda
yaratilgan teoremaga keldik.
Teorema 5.5.
(Gershgorin teoremasi).
n
k
i
ik
a
A
1
,
matritsaning har bir
harakteristik soni har doim (5.31) doiralarning birida
joylashgan bo’ladi.
Shunday qilib, (5.31) Gershgorin doiralari barcha harakteristik sonlari
yotadigan sohani beradi.
Teorema 5.6
.
1
,
s
A
A
blok ko’rinishda tasvirlangan
n
n
o’lchovli A matritsaning har bir
harakteristik soni quyidagi sohalarning hech bo’lmaganda bittasiga tegishli
bo’ladi:
s
A
E
A
1
1
1
)
(
)
,..,
2
,
1
(
s
(5.32)
Shuningdek,
𝑥
𝛼
quyidagi sohalarning hech bo’lmaganda bittasiga tegishli
bo’ladi:
1
1
E
A
)
,..,
2
,
1
(
,
1
s
A
s
)
2
3
.
5
(
bu yerda
E
birlik matritsa bo’lib,
A
matritsalar bir xil tartibli
)
,..,
2
,
1
(
s
.
Fiddler kriteriyasidan kelib chiqib, qanday lokallashtirish sohasini hosil
qilish mumkinligini aniqlaymiz.
s
c
c
c
,..,
,
2
1
manfiymas sonlar shunday
tanlanganki, unda
129
𝐺 = (
𝑐
1
−‖𝐴
12
‖ … −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
𝑐
2
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
𝑐
𝑠
)
(5.33)
matritsa kuchsizlantirilgan M – matritsa bo’lsin, ya’ni dioganalda yotmagan
elementlari musbatmas bo’lib, barcha bosh minorlari manfiymas bo’lsin. Faraz
qilaylik, qandaydir
sonda quyidagi s ta tengsizlik bajarilsin:
с
E
A
1
1
)
,..,
2
,
1
(
s
(5.34)
u holda, (5.33) matritsada
C
ni
1
1
E
A
bilan alamashtirib, barcha
dioganal elementlarni orttiramiz va M – matritsani hosil qilamiz:
(
‖(𝐴
11
−
E
1
)
−1
‖
−1
−‖𝐴
12
‖
… −‖𝐴
1𝑠
‖
−‖𝐴
21
‖
‖(𝐴
22
−
E
2
)
−1
‖
−1
… −|𝐴
2𝑠
|
− ‖
. .
𝐴
𝑠1
‖
. .
−‖𝐴
𝑠2
‖
. .
…
. .
‖(𝐴
𝑠𝑠
−
E
s
)
−1
‖
−1
)
ammo bu holda Fidler teoremasiga ko’ra
0
E
A
va
son A matritsaning
harakteristik soni bo’lmaydi.
Shuning uchun, A matritsaning ixtiyoriy
harakteristik soni uchun (5.34)
tengsizlikning hech bo’lmaganda bittasi bajarilmaydi, ya’ni quyidagi
munosabatlardan biri bajariladi:
с
E
A
1
1
)
,..,
2
,
1
(
s
(5.35)
(5.35) dagi s ta sohani birlashtirish, maxsus tanlangan
s
c
c
c
,..,
,
2
1
manfiymas
parametrlarga bog’liq bo’lgan Fidlerning lokallashtirish sohasini tashkil qiladi.
Teorema 5.7.(Fidler teoremasi).
Agar
s
c
c
c
,..,
,
2
1
manfiymas sonlar
shunday tanlangan bo’lib, (5.33) matritsa kuchsizlangan M matritsa bo’lsa, u
holda A matritsaning har bir
harakteristik soni s ta (5.35) sohalarning hech
bo’lmaganda bittasiga tegishli bo’ladi.
Misol sifatida quyidagi 4-tartibli simmetrik matritsani qaraymiz:
130
1
15
1
1
15
1
1
1
1
1
0
4
1
1
4
0
A
A-simmetrik matritsa bo’lgani uchun uning barcha harakteristik sonlari haqiqiy
bo’ladi. Shuning uchun
-kompleks tekislikdagi lokallashtirish sohasi o’rniga
-haqiqiy o’qdagi sohalar kesishishidan hosil bo’lgan kesmani qarash mumkin.
I. Gershgoren sohasi quyidagi segmantdan iborat bo’lib,
16
18
bu segment Gershgorinning qolgan segmentlarini o’zida saqlaydi.
II. A matritsani quyidagicha 4 ta blokka ajratamiz:
𝐴 = (
𝐴
11
𝐴
12
𝐴
21
𝐴
22
)
,
𝐴
11
= ‖0 4
4 0
‖
,
𝐴
22
= ‖−1 15
15 −1
‖
,
𝐴
21
= 𝐴
12
= ‖1 −1
1
1
‖
Bu holda
(𝐴
11
−
E
1
)
−1
=
1
2
− 16
‖
−
−4
−4 −
‖
(𝐴
22
−
E
2
)
−1
=
1
(
+ 1)
2
− 15
2
‖−1 −
−1 −
−15
−15
‖
R
1
va R
2
fazolarning quyidagi uch xil ko’rinishdagi normalarini qaraymiz:
a)
R
1
va R
2
da kubik normalarni;
b)
R
1
da kubik, R
2
da esa oktaedrli normalarni
c)
R
1
da oktaedrli, R
2
da esa kubik normalarni.
a)
barcha bloklar bo’yicha normalar
)
0
2
.
5
(
formuladan aniqlanadi:
2
12
A
,
,
2
21
A
4
)
(
1
1
11
E
A
,
15
1
)
(
1
2
22
E
A
Gershgorinning blokli sohasi
2
4
,
2
15
1
131
Quyidagi 4 ta intervaldan iborat bo’ladi:
16
12
,
6
2
,
2
6
,
16
18
(IIa)
b)
bu holda
1
1
1
11
)
(
E
A
va
1
1
2
22
)
(
E
A
lar uchun ifodalar
o’zgarmay qoladi, ammo
4
2
,
1
max
max
max
2
1
2
1
2
0
1
2
1
12
i
i
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
A
Gershgorinning blokli sohasi
1
4
,
4
15
1
bo’lib, quyidagi 4 ta intervaldan iborat
18
10
,
5
3
,
3
5
,
12
20
(IIb)
c)
bu holni avvalgi holdan farqi shuki, bunda
1
12
A
,
,
4
21
A
bo’ladi. Shuning uchun Gershgorin sohasi.
4
4
,
1
15
1
bo’lib, quyidagi 3 ta intervalga bo’linadi:
15
17
,
15
8
,
15
13
(IIc)
Bu sohalarning kesishmasi lokallashtirish sohasini beradi:
15
17
,
,
5
3
,
3
5
III. Fidler kriteriyasini qo’llashda yana a), b), c) normalarni qaraymiz:
𝐺 = (
𝑐
1
−‖𝐴
12
‖
−‖𝐴
21
‖
𝑐
) = ‖
𝑐
1
−2
−2
𝑐
2
‖
0
4
2
1
c
c
G
1
c
va
2
c
larning eng kichik qiymatlarini hosil qilish maqsadida
1
c
4
2
c
deb
olamiz.
1
4
c
,
2
15
1
c
Fiddler sohasi
1
c
2
2
c
da (IIa) soha bilan,
,
1
1
c
4
2
c
da (IIb) soha bilan,
4
1
c
1
2
c
da esa (IIb) soha bilan ustma-ust tushadi. Fiddler sohasi quyidagi 4 ta
intervaldan iborat bo’lib, bitta musbat parametrga bog’liq bo’ladi, chunki
c
c
4
1
.
132
,
16
16
2
2
c
c
,
4
4
1
1
c
c
(III)
,
4
4
1
1
c
c
,
14
14
2
2
c
c
Barcha Fidler sohalari kesishmasini aniqlash mumkin. Buning uchun quyidagi
miqdorlarni qaraymiz:
1)
,
4
16
1
2
c
c
2)
,
4
16
1
2
c
c
3)
,
4
16
1
2
c
c
4)
,
14
4
2
1
c
c
5)
,
14
4
2
1
c
c
6)
,
14
4
2
1
c
c
1
c
4
2
c
tenglikdan foydalanib, eng kichik musbat ildizli 6 ta kvadrat
tenglamani hosil qilamiz:
1)
...,
3246
,
0
40
6
,
0
4
12
1
2
2
2
z
c
c
2)
...,
3431
,
0
32
6
,
0
4
12
2
2
2
2
z
c
c
3)
...,
3246
,
0
40
6
,
0
4
12
1
3
1
2
1
z
z
c
c
4)
...,
3852
,
0
29
5
,
0
4
10
4
1
2
1
z
c
c
5)
...,
4174
,
0
21
5
,
0
4
10
5
1
2
1
z
c
c
6)
...,
3852
,
0
29
5
,
0
4
10
4
6
2
2
2
z
z
c
c
Lokallashtirish sohasi quyidagi 4 ta segmentdan iborat bo’ladi:
2
1
16
16
z
z
,
1
2
4
4
z
z
5
4
4
4
z
z
,
4
5
14
14
z
z
Mashqlar:
1.
Adamar va Fidler kriteriyalaridan foydalanib quyidagi matritsalarning
regulyarligini tekshiring:
2.
(
1
2
0
0
2
0
−2 −2 −1
)
(
4
6
0
−3 −5 0
−3 −6 1
)
(
7
−12 −2
3
−4
0
−2
0
−2
)
133
(
13
16
16
−5 −7 −6
−6 −8 −7
)
(
3
0
8
3
−1
6
−2
0
−5
)
(
0
3
3
−1
8
6
2
−14 −10
)
(
4
5
−2
−2 −2
1
−1 −1
1
) (
9
22 −6
−1 −4
1
8
16 −5
)
(
8
30
−14
−5 −19
9
−6 −23
11
)
(
−2
8
6
−4 10
6
4
−8 −4
)
(
3
7
−3
−2
−5
2
−4 −10
3
)
(
−1
1
1
−5
21
17
6
−26 −21
)
(
1 −1 2
3 −3 6
2 −2 4
) (
−4 2 10
−4 3
7
−3 1
7
)
3.
𝐴 = [
0
1 0
𝑖
1
6 1 1
𝑖 2
⁄ 𝑖 5 0
0 1 2
⁄ 1 2 − 2
⁄
]
bo’lsa, A va
𝐴
𝑇
matritsalarning uchu
Gershgorin doirasini toping. Agar S=diag{1,1,1,4}, bo’lsa
𝑆𝐴𝑆
−1
ni
xisoblang va A matritsa
|𝑧 + 2| ≤
1
2
doirada xaqiqiy xos qiymatga ega
ekanligini xosil qiling.
4.
Agar
𝑎
𝑗𝑗
> ∑ |𝑎
𝑗𝑘
| = 𝑝
𝑗
′
𝑘
j=1,2,…,n bo’lsa, u xolda A matritsa
xosmas bo’lishini ko’rsating.
5.
Agar A=B+C, B=diag{1,2,2} va j,k=1,2,3 uchun
|𝑐
𝑗𝑘
| ≤ 𝜀 <
1
6
bo’lsa, u
xolda A matritsani
|𝑧 − 1 − 𝑐
11
| ≤ 13𝜀
2
doirada xos qiymati mavjud
ekanligini isbotlang.
6.
‖𝐴 − 𝐵‖ ≥ ‖𝐴‖ − ‖𝐵‖
ekanligini isbotlang.
7.
Xaqiqiy qiymatli
∑ |𝑎
𝑖𝑗
|
𝑖,𝑗
funksiya matritsa normasi bo’lishini isbotlang.
8.
Ixtiyoriy matritsa normasi uchun quyidagilarni isbotlang.
‖𝐼‖ ≥ 1, ‖𝐴
𝑛
‖ ≤ ‖𝐴‖
𝑛
, ‖𝐴
−1
‖ ≥
1
‖𝐴‖
134
VI-BOB.
MATRITSALI TENGLAMALAR
.
Bu bobda matritsalar nazariyasi va ularning tadbiqlari masalalarida
uchraydigan matritsali tenglamalarning ba’zi ko’rinishlari qarab chiqiladi.
Dostları ilə paylaş: |