Programma del corso di

parte A
Algoritmi: Definizione e proprietà degli algoritmi. Linguaggi di descrizione. Analisi top-down e bottom-up. Analisi strutturata. Complessità computazionale. Ordini di grandezza della complessità Classi di algoritmi.

Tecniche di progettazione: "Divide et Impera". Programmazione dinamica. algoritmi "greedy".

Classi P e NP: Definizione delle classi P e NP. La riduzione come strumento di indagine nella classe NP. Problemi NP-completi.

Il Problema della Selezione: Il problema della Selezione. Limiti inferiori e metodo dell' "oracolo". Massimo e minimo di un insieme. La seconda chiave pi^a grande e metodo del torneo. Algoritmo di Selezione e sua valutazione.

String matching: Algoritmo di Kunth-Morris-Pratt. Algoritmo di Boyer Moore. Strngi Matching approssimato.
parte B
L'organizzazione dei sistemi di elaborazione: J processori: esecuzione delle istruzioni, l'organizzazione della CPU. La memoria: i bit, indirizzi di memoria, ordinamento dei byte, la memoria secondaria. Dispositivi di Input/Output. La memoria cache. Logica digitale e circuiti combinatori.

Linguaggi a basso livello e assemblatori: I formati delle istruzioni. L'indirizzamento. Tipi di istruzioni. Il flusso di controllo. Le procedure. Le macro istruzioni. Le interruzioni.

Linguaggi ad alto livello e compilatori :I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e metodi di trasmissione dei parametri.

Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento parallelo: "Merging and Sorting", "Odd-Even Merging".

Linguaggi ad alto livello e compilatori: I linguaggi formali. Analisi sintattica. Automi a stati finiti e automi riconoscitori. Struttura di un compilatore. Architettura dei programmi. Programmi a blocchi e regole di visibilità dei nomi. Sottoprogrammi e metodi di trasmissione dei parametri.

Architetture di calcolatori avanzate: Architetture parallele. Algoritmi di ordinamento parallelo: "Merging and Sorting", "Qdd-Even Merging".

PROGRAMMA DEL CORSO DI

TEORIA DELLE FUNZIONI

Prof. S. Calafiore

Corpo complesso C. Funzioni da C in C e relative propietà.

Successioni e serie di funzioni.

Serie di potenze intere in una variabile (struttura algebrica e topologica).

Funzioni elementari e^z, zⁿ e quelle da esse dedotte.

Problema di invertibilità, cenni sui punti rami.

Teoria elementare delle funzioni olomorfe (Teorema di Cauchy, funzione integrale, sviluppo in serie di Taylor, Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra).

Serie di Laurent. Residui e applicazioni al calcolo degli integrali impropri. Teorema di Rouchè.

Principio del massimo modulo.

Rappresentazione conforme. Trasformazioni omografiche, modello della geometria iperbolica; Teorema di Riemann.

Zeri di funzioni olomorfe. Prodotti infiniti. Teorema di Weierstrass e G euleriana. Prolungamento analitico.

Serie di Fourier - alcuni criteri di convergenza. f

Cenni su misura e integrale di Lebesgue.

Cenni su funzioni di classe L² (Teorema di Riesz Fischer, uguaglianza di Parseval).
N.B. prima di sostenere la prova orale, i candidati debbono presentare una relazione scritta su argomenti ed esercizi, concordati con il titolare del corso.

PROGRAMMA DEL CORSO DI

TOPOLOGIA

Prof. M. Furi

Topologia Differenziale

Preliminari: Applicazioni lisce tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei. Diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa locale. Teorema della funzione implicita. Cono tangente ad un insieme in un punto. Spazio tangente (come spazio generato dal cono tangente). Differenziale in un punto di un'applicazione liscia tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei (come restrizione allo spazio tangente del differenziale di una qualunque estensione liscia ad un intorno). Proprieta' del differenziale. Confine di un insieme (insieme dei punti singolari). Teorema di invarianza del confine per un diffeomorfismo e conseguenze. Fibrato tangente ad un arbitrario sottoinsieme di uno spazio euclideo. Massimi e minimi per applicazioni reali (su arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei). Condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine). Condizioni sufficienti (del primo e del secondo ordine).

Varieta' differenziabili: Varieta' differenziabili negli spazi euclidei. Varieta' con bordo. Carte e parametrizzazioni. Caratterizzazione dello spazio tangente ad una varieta' differenziabile in un punto. Primo teorema di regolarita' delle soluzioni. Punti critici e regolari. Valori critici e regolari. Una dimostrazione del teorema fondamentale dell'Algebra. Lemma di Sard. Lemma del taglio. Secondo teorema di regolarita' delle soluzioni. Fibrato tangente ad una varieta' differenziabile. Massimi e minimi sulle varieta' differenziabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (condizioni necessarie). Condizioni sufficienti (del secondo ordine) associate al metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Alcuni metodi per la ricerca dei punti critici per applicazioni tra varieta' differenziabili. Alcuni esempi fisici di varieta' differenziabili (e calcolo dello spazio tangente in un punto): asta rigida in un piano, asta rigida nello spazio, corpo rigido, pendolo piano, pendolo sferico, pendolo doppio. Orientazione di un varieta' differenziabile. Orientazione complementare di una sottovarieta'. Orientazione del bordo di una varieta' orientata.

Teoremi di punto fisso e grado topologico: Proprieta' del punto fisso. Retratti di uno spazio topologico (e legame con la proprieta' del punto fisso). Teorema di punto fisso di Brouwer. Principio di continuazione in dimensione finita e applicazioni ai sistemi non lineari. Teorema di punto fisso di Schauder. Principio di continuazione in dimensione infinita. Teorema di esistenza di Peano per le equazioni differenziali ordinarie. Applicazioni del teorema di Schauder e del principio di continuazione ai problemi ai limiti per equazioni differenziali non lineari. Grado modulo due tra varieta' non necessariamente orientabili. Grado di Brouwer tra varieta' orientate. Proprieta' fondamentali del grado di Brouwer. Calcolo del grado per alcune applicazioni. Grado (topologico) di un polinomio. Alcune conseguenze della teoria del grado: teorema fondamentale dell'Algebra, teorema di non pettinabilita' delle sfere di dimensione pari, teorema di punto fisso di Brouwer. Indice di Hopf di un campo vettoriale tangente ad una varieta' differenziabile. Proprieta' fondamentali dell'indice di un campo vettoriale. Teorema di Poincare'-Hopf. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione necessaria per l'esistenza di un punto di biforcazione. Applicazione (dell'indice di un campo vettoriale) alla teoria della biforcazione: condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di biforcazione. Teorema di punto fisso di Schauder. Teorema di esistenza di Peano per equazioni differenziali ordinarie. Principio di continuazione di Leray-Schauder e applicazioni ai problemi ai limiti per equazioni differenziali ordinarie. Cenni sulla teoria della biforcazione in dimensione infinita.
TOPOLOGIA ALGEBRICA
Elementi di teoria delle categorie: Categorie. Vari tipi di morfismi: monomorfismi, epimorfismi, retrazioni, coretrazioni, isomorfismi, endomorfismi. Prodotto e coprodotto. Groppo degli automorfismi. Principali esempi di categorie: insiemi, gruppi, spazi topologici, spazi metrici, spazi vettoriali, spazi di Banach, gruppi abeliani graduati, classi di omotopia tra spazi topologici, spazi topologici puntati, coppie di spazi topologici, varieta' differenziabili (con applicazioni lisce). Categoria delle applicazioni multivoche. Categoria delle applicazioni locali. Funtori covarianti tra due categorie. Funtori controvarianti. Funtori smemorati. Funtori della Topologia Differenziale. Trasformazioni naturali tra due funtori. Categoria ammissibile (per la teoria dell'omologia).

Teoria dell'omologia: Assiomi di Eilemberg-Steenrod per la teoria dell'omologia. Principali conseguenze degli assiomi. Gruppi ridotti di omologia. Sospensione di uno spazio topologico. Funtore sospensione. Omologia delle sfere. Simplessi. Orientazione di un simplesso. Complessi simpliciali. Poliedri. Poliedri topologici (spazi triangolabili). Numero di Eulero di un complesso simpliciale finito. Gruppo abeliano libero generato da un insieme. Complesso di catene associato ad un complesso simpliciale (orientato). Omologia di un complesso simpliciale. Applicazioni simpliciali. Omomorfismo indotto da un'applicazione simpliciale. Omologia simpliciale relativa. Calcolo dei gruppi di omologia simpliciale di alcuni spazi triangolabili (sfera, spazio proiettivo, bottiglia di Klein, toro). Simplessi singolari. Complesso di catene associato ad uno spazio topologico (e ad una coppia topologica). Cicli, bordi e gruppi di omologia. Omomorfismo indotto da un'applicazione continua. Verifica degli assiomi di Eilemberg-Steenrod per l'omologia singolare. Numeri di Betti. Caratteristica di Eulero-Poincare'. Numero di Lefschetz. Teorema di Lefschetz. Grado topologico per applicazioni tra sfere. Teorema di Hopf.
Testi consigliati:

Greenberg M.J. - Lectures on Algebraic Topology - W.A. Benjamin, Inc., 1966.

Guillemin V.-Pollak A. - Differential Topology - Prentice-Hall, Inc., 1974.

Hirsch M.W. - Differential Topology, Graduate Texts in Math. - Vol. 33, Springer Verlag, 1976.

Hu S.T. - Homology Theory - Holden-Day, 1970.

Lloyd N.G. - Degree Theory, Cambridge Tracts in Mathematics - Vol. 73, Cambridge University Press, 1978.

Milnor J.W. - Topology from the differentiable viewpoint - The Univ. Press of Virginia, 1965.

Spivak M. - Calculus on Manifold - W.A. Benjamin, Inc., 1965.