49
Məsələ 4.2.
Həftə ərzində sığorta şirkətinə daxil olan iddiaların sayı
ehtimal paylanması ??????(?????? = ??????) =
1
2
??????+1
, ?????? ≥ 0
olan təsadüfi
kəmiyyətdir. Sığorta şirkəti müəyyən etmişdir ki, hər hansı həftədə
daxil olan iddiaların sayı digər həftə ərzində daxil olan iddiaların
sayından asılı deyildir. İki həftə ərzində yeddi iddianın daxil
olmasının ehtimalını tapın.
Həlli:
Fərz edək ki, ??????
1
və ??????
2
uyğun olaraq 1-ci və 2-ci həftə ərzində
daxil olan iddiaların sayıdır. Məsələnin şərtinə əsasən ??????
1
və ??????
2
asılı
olmayan təsadüfi kəmiyyətlər
olduğundan
??????(??????
1
+ ??????
2
= 7) = ∑ ??????(??????
1
= ??????)??????(??????
2
= 7 − ??????) =
7
??????=0
= ∑ (
1
2
??????+1
) (
1
2
8−??????
) = ∑
1
2
9
=
7
??????=0
7
??????=0
=
8
2
9
=
1
2
6
=
1
64
.
Məsələ 4.3.
Sığorta şirkətinə daxil olan iddiaların sayı təsadüfi
kəmiyyətdir və
??????(?????? = ??????) =
1
(?????? + 2)(?????? + 3)
, ?????? ≥ 0 .
Bir ay ərzində daxil olan iddiaların sayının üçdən çox
olmadığı məlum olarsa, cari ayda ən azı bir iddianın daxil olmasının
ehtimalını tapın.
50
Həlli:
Şərti ehtimalın
tərifinə əsasən
??????(?????? ≥ 1|?????? ≤ 3) =
??????(1 ≤ ?????? ≤ 3)
??????(?????? ≤ 3)
=
1
12 +
1
20 +
1
30
1
6 +
1
12 +
1
20 +
1
30
=
=
5 + 3 + 2
10 + 5 + 3 + 2
=
10
20
=
1
2
.
İndi isə paylanma qanunları düstur vasitəsilə ifadə olunan bəzi
diskret təsadüfi kəmiyyətlərlə tanış olaq.
Binomial paylanma.
Asılı olmayan təkrarlanan sınaqlar aparılır və bu
halda hər bir
sınağın yalnız iki nəticəsinin: ?????? ehtimalı ilə “müvəffəqiyyət” (M), ??????
ehtimalı ilə isə “qeyri-müvəffəqiyyət”in (Q) olduğu fərz edilir,
(?????? + ??????) = 1
. “Müvəffəqiyyət” və “qeyri-müvəffəqiyyət” terminləri
şərti xarakter daşıyır, əsas şərt ondan ibarətdir ki, təkrarlanan asılı
olmayan sınaqlarda hər bir sınağın nəticəsi tam qrup əmələ gətirən iki
hadisədən biri kimi ifadə oluna bilsin, yəni hər sınaqda ?????? hadisəsi ??????
ehtimalı ilə ya baş verir və ya ?????? = 1 − ?????? ehtimalı ilə baş vermir.
Məsələn, “düzgün” oyun zərinin bir dəfə atılması eksperimentində
“müvəffəqiyyət” (?????? hadisəsi) kimi “2 xalının düşməsini” götürsək,
onda “qeyri-müvəffəqiyyət” “2 xalının düşməməsi”dir.
Bu halda
?????? = ??????{??????
??????
= 2} =
1
6
, ?????? = 1 − ?????? = ??????{??????
??????
≠ 2} =
5
6
.
Fərz edək ki, ?????? sayda asılı olmayan təkrarlanan sınaqlar
aparılmışdır. Bu sınaqlarda “müvəffəqiyyət”lərin (?????? hadisəsinin baş
vermə) sayı təsadüfi kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyəti
X ilə işarə
edək. Məqsədimiz
X diskret təsadüfi kəmiyyətinin paylanma
51
qanununu tapmaqdır. Bunun üçün
X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün
qiymətlərini və onlara uyğun ehtimalları müəyyən etmək lazımdır.
Aparılan sınaqların sayı ?????? olarsa, aydındır ki, bu sınaqlar seriyasına
uyğun elementar hadisələr fəzası Ω
n
= {ω: ω = (ω
1
, ω
2
, … , ω
n
)}
,
??????
??????
= {M; Q}
, ?????? = 1, ??????
̅̅̅̅̅ çoxluğu olacaqdır və
??????(??????) = ??????(??????
1
) ∙ ??????(??????
2
) ∙ … ∙ ??????(??????
??????
)
;
??????(??????
??????
= M) = ??????
, ??????(??????
??????
= Q) = 1 − ?????? = ??????
.
Bu halda Ω
??????
fəzasında 2
??????
sayda elementar hadisə olur. Bu
elementar hadisələrin hər biri M və Q-lərdən təşkil olunmuş ??????
uzunluqlu bütün mümkün ola bilən müxtəlif “düzüm”lərdən ibarətdir.
Aydındır ki, əgər ayrıca bir “düzüm”də ?????? sayda M, ?????? − ??????
sayda Q vardırsa, onda bu “düzüm”ün ehtimalı ?????? sayda ?????? və ?????? − ??????
sayda ?????? -nün hasilinə, yəni ??????
??????
∙ ??????
??????−??????
-ya bərabər olacaqdır. Qeyd
etdiyimiz kimi ?????? sayda sınaqda “müvəffəqiyyət”lərin sayı təsadüfi
kəmiyyətdir və bu təsadüfi kəmiyyət 0, 1, … , ?????? qiymətlərindən birini
ala bilər. Hər bir ?????? uzunluqlu “düzüm”də M-lərin sayı ?????? olarsa, belə
“düzüm”lərin sayı ??????
??????
??????
olacaqdır.
Beləliklə,
??????
??????
(??????) = ??????{?????? = ??????} = ??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????−??????
, ?????? = 0, 1, … , ?????? ;
(4.1)
??????
??????
(??????)
– ?????? sayda asılı olmayan təkrarlanan sınaqlarda ?????? dəfə
müvəffəqiyyət baş verməsi ehtimalıdır. (4.1) düsturu ilə verilən
ehtimallar toplusu
binomial paylanma adlanır.
Aydındır ki, ??????
??????
(??????) ≥ 0
, ∑
??????
??????
(??????)
??????
??????=0
= 1 .
Nümunə 4.7. Oyun zəri iki dəfə atılır. Gerb üzünün düşmə
sayı təsadüfi kəmiyyətdir. Bu təsadüfi kəmiyyət üçün paylanma
qanununu cədvəl şəklində ifadə edək.
Metal pulu hər dəfə atdıqda Gerb üzünün düşməsi ehtimalı
?????? =
1
2
-dir, doğrudan da, Gerb üzünün düşməməsi ehtimalı
?????? = 1 − ?????? = 1 −
1
2
.