I bob Arifmetika va algebraning boshlanishi. Natural va kasr sonlar

§ 5. RATSIONAL SONLAR

7. Bo’lingan son nima ?

Bir necha asrlar davomidabo’lingan sonlar turli xalqlarning tilidakasr deb yuritilgan. Jamiyat rivojlanishining erta bosqichida kasr juda zarur bo’lgan. Shunga ko’ra, ko’p kishilik oila yoki qabilalar o’rtasida ovda keyin tutilgan 2-3 quyonni taqsimlashda yuzaga kelga muammolar bo’lish , ya’ni , “kasr” so’zining ochilishiga sabab bo’lgan. Ilk kasr bu yarim bo’lgan.

Kasrning sonning bo’laklari va 1 sonining ma’lum qismlari sifatidagi tushunchalarni Qadimgi Misr papiruslari hamda vavilyoniyaliklarning loydan yasalgan plitalarida uchratish mumkin bo’lgan .

Kasr haqidagi tushunchalar yillar o’tishi bilan rivojlanib va kengayib borgan. Yunonlar − Evklid (e.avv. III asr) “Negizlar” asarida va Nikomax (I asr) “Arifmetikaga kirish” asrida kasrlarga murojaat qilishdan saqlanishgan , bunga sabab ular kasrlarni son deb hisoblashmagan. Arximed (e.avv. 287-212) kasrlarni qo’llagan bo’lsada, ularni son sifatida qabul qilmagan.

Keyinchalik , bir necha asrlar davomida kasrlar va bo’lingan sonlar bir birlikning teng qismlarga ajralishi sifatida qaralgan , lekin son deb yuritilmagan. Ko’pgina xalqlarda foydalanilgan “bo’lingan son” atamasi arab xalqlarida paydo bo’lib , keyinchalik Leonard Pizanskiy (Fibonachchi) tomonidan yevropaliklarning arifmetik qo’llanmalariga kiritilgan.

XVII asrdaham , ko’pgina matematiklar . masalan , Vallis kasrga “nechta?” emas , balki “qancha miqdorda?” deb savol qo’yilgani uchun ham uni son deb tan olmagan . XVIII asrning ikkinchi yarmidagina kasrning son ta’rifiga mos keluvchi aniqlamasi Nyuton tomonidan o’rnatilgan .U songa bir kattalikning ikkinchi huddi shunday kattalik deb qabul qilingan 1 ga munosabati deb ta’rif bergan. Kasr aniqlamasi ham ushbu ta’rifni qanoatlantirgan.

Buyuk matematik , Peterburg Akademiyasi a’zosi Eyler o’zining “Universal arifmetika” (1787-yil) asarida ni dekbutun son bo’lmasada, biz uni sonlarning o’ziga xos kasrlar yoki bo’lingan sonlar deb ataydigan turiga mansubdir deb aytgan .

Kasrning 3 turi farqlanadi :

1. 
   Birlik kasrlar (alikvotlar)yoki ulushlar, masalan , va hk. ;
   
2. 
   Sistemali kasrlar, ya’ni, maxraji sonning darajasi bilan ifodalanuvchi kasrlar, masalan, 10 yoki 60 ning darajasi bilan . Bunday kasrlardan qadimda vavilyonyalik allomalar foydalanishgan va ular ustida turli amallar bajarishgan .
   

3)Umumiy turdagi kasrlar , ya’ni surat va maxraji ixtiyoriy songa teng bo’luvchi kasrlar.

O’rta asrlarda surati maxrajidan katta bo’lgan kasrlarni “yolg’on”, to’g’ri kasrlarni esa “haqiqiy kasrlar” deb atashgan va XVIII asrning ikkinchi yarmidan kasrlarning yolg’on va haqiqiyga ajratilishi to’xtatilgan.

Zamonaviy arifmetikada kasr deb , biri − elementning nechta teng ulushga bo’linganligini ko’rsatuvchi (maxraj) , ikkinchisi – shu ulushlarning nechtasi olinganligini ko’rsatuvchi (surat) natural sonlar juftiga aytiladi.

Kasrning hozirda yoziladigan asl ko’rinishi VIII asrda Hindistonda ishlab chiqilgan . So’ngra bu yozuv O’rta Osiyoga va bu yerdan Yevropaga kirib kelgan.