Ikki o'lchovli integralning fizikaga tadbiqi

Kompleks sonlar ustida amallar
Agar α=a+ib va β=c+id kompleks sonlar berilgan bo`lsa:

1. 
   Qo`shish va ayirish.
   

α±β=(a+ib)±(c+id)=(a±c)+i(b±d)

2. 
   Ko`paytirish va bo`lish
   

Agar va o`zaro qo`shma sonlar berilgan bo`lsa: ,
Kompleks sonning geometrik tasviri va kompleks tekislik
T o`g`ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasi ni tanlab, uning abssissalar o`qiga ning haqiqiy qismi x ni, ordinatalar o`qiga esa mavhum qismining koeffitsienti y ni joylashtirsak, tekislikda nuqtaga ega bo`lamiz.
Kompleks sonning trigonometrik va ko`rsatkichli shakli:

Bundagi kompleks sonni tasvirlagan vektorning uzunligini ifodalaydi, uni sonning moduli, burchakni esa ning argumenti deyiladi va u quyidagicha yoziladi: , kompleks songa mos bo`lgan vektorga birgina uzunlik va cheksiz ko`p burchaklar mos kelishi chizmadan ko`rinadi: Shu sababli odatda burchakning umumiy ko`rinishi kabi belgilanib , ni argumentning bosh qiymati deyiladi.
9. Tor tebranish tenglamasini oʻzgaruvchilarni ajratish yordamida yechish.
Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jisimki, uning uzunligi boshqa o‘lchamlaridan ancha ortiq bo‘ladi.
Torning chekkli nuqtalari mahkamlangan, o‘zi esa qattiq tortilgan bo‘lsin. Agar tor muvozanat holatidan chetlashtirilsa tor tebrana boshlaydi. Biz tor tebranishini bir tekislikda ro‘y beradi deb faraz qilamiz.
Bu tekislikda to‘g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini olamiz . o‘qini torning boshlang‘ich tinch holati bo‘yicha yo‘naltiramiz. U holda torning muvozanat holatidan siljishini beradi. Tor tebranish jarayonida -chetlanish va ga bog‘liq bo‘ladi ya’ni . Har bir fiksirlangan vaqitda funksiya grafigi tor tebranishi grafigini beradi, esa bu grafikning nuqtasiga o‘tkazilgan urinma burchak koeffisiyentini beradi. harakat tezligi harakat tezlanishi. Bizning maqsadimiz tor harakatini beruvchi funksiya qanoatlantradigan tenglama tuzish. Buning uchun ba’zi bir cheklanishlar qilamiz 1. Tor absayut egiluvchan. Torga ta’sir qilinib turgan taranglik kuchi etarli katta deb faraz qilamiz. Shu sababli torning egilganda qarshiligini taranglikka nisbatan hisobga olamsa ham bo‘ladi.
Agar torning biror nuqtadan bir tomonga yotuvchi qismi olib tashlansa, u holda olib tashlangan qismining ta‘sirini almashtiruvchi taranglik kuchi. Shu nuqtada torning urunmasi bo‘yicha yo‘nalgan bo‘ladi.
Torni cho‘ziluvchan emas deb faraz qilamiz va u Guk qonuniga bo‘ysinadi, ya‘ni taranglik kuchini o‘zgarish miqdori torning uzunligini o‘zgarishiga proporsionaldir. Torni bir jinsli deb faraz qilamiz va uning chiziqli zichligini orqali belgilaymiz (birlik uzunlikka to‘g‘ri keluvchi massa).
Torga o‘qiga parallel kuchlar ta‘sir etadi deb faraz qilamiz ular tor bo‘ylab harakat qiladi va , ga bog‘liq, ularning zichligini deb belgillaymiz. Muhitning qarshilik kuchi e‘tiborga olinmaydi. Biz faqat torning kichik tebranishlarini o‘rganamiz.