Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar

Yechish: Berilgan tenglamani (1) kanonik tenglama bilan taqqoslab, giperbolaning haqiqiy va mavhum yarim o‘qlari a=4, b=3 ekanligini ko‘ramiz. Bu holda c²=a²+b² =16+9=25 => c=5 bo‘lgani uchun giperbolaning fokuslari F₁(–5,0) va F₂(5,0) nuqtalarda joylashganligini aniqlaymiz. Berilgan giperbolaning asimptotalari

,
ekssеntrisitеti  =c/a=5/4=1,25, direktrisalarining tenglamasi esa x=±a/ =±4/1,25=±3,2 bo‘ladi. Endi giperbolaning berilgan M(8,y) nuqtasining fokal radiuslarini topamiz. Bu nuqta giperbolaning o‘ng shoxida joylashgan va shu sababli (4) formulani “+” ishora bilan qaraymiz:

r₁=a+x=4+1,258=14, r₂= –a+x=–4+1,258=6.

2. 
   
   Parabola, uning kanonik tenglamasi va xarakteristikalari
   

Bizga parabola maktabdan ma’lum bo‘lib, u y=ax²+bx+c kvadratik funksiyaning grafigi singari qaralgan edi. Endi bu tushunchaga ma’lum bir xossaga ega II tartibli chiziq singari yondashamiz.

6-TA’RIF: Berilgan F nuqta va l to‘g‘ri chiziqqacha masofalari o‘zaro tеng bo‘lgan tekislikdagi nuqtalarining gеomеtrik o‘rni parabola deb aytiladi. Bunda F nuqta fokus, l to‘g‘ri chiziq esa direktrisa deyiladi.
Parabola tenglamasini topish uchun OX koordinata o‘qini F fokusdan o‘tuvchi va l dirеktrisaga perpendikular qilib, OY o‘qini esa F va l o‘rtasidan o‘tkazamiz. Fokusdan direktrisagacha bo‘lgan masofani |FD|=p>0 dеb belgilaymiz. Unda fokusning koordinatalari F(p/2,0), dirеktrisa tenglamasi esa x=–р/2 bo‘ladi. Parabolaga tegishli ixtiyoriy M(x,y) nuqtani olamiz va uning l direktrisadagi proyeksiyasini C deb belgilaymiz (31-rasmga qarang).

Parabola ta’rifiga ko‘rа |MC|=|MF|. Bu tenglikni koordinatalar orqali ifodalab vа uni soddalashtirib, ushbu natijani olamiz:

Demak, ko‘rilayotgan parabola

y²=2px (6)
tenglama bilan ifodalanadi.


7-TA’RIF: (6) tenglama parabolaning kanonik tenglamasi, p (p>0) esa uning parametri deyiladi.
Parabolaning kanonik tenglamasini tahlil etamiz.

• 
  
  y²≥0, p>0 => x≥0. Demak, parabola O koordinata boshidan o‘ng tomonda joylashgan.
  

• Bunda O(0,0) koordinata boshi (6) tenglamani qanoatlantiradi va shu sababli parabolada yotadi. O nuqta parabolaning uchi deb ataladi.

  
  

• (6) tenglamada y kvadrati bilan qatnashgani uchun M(x,y) parabolaga tegishli nuqta bo‘lsa, unda N(x,–y) nuqta (6) tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni parabolaga tegishli bo‘ladi. Bundan bizning parabola OX o‘qiga nisbatan simmetrik ekanligi kelib chiqadi.

  
  

• Agar (6) kanonik tenglamada x o‘zining 0 qiymatidan boshlab o‘sib borsa, unda |y| ham 0 qiymatdan boshlab o‘sib boradi. Demak, parabola chegaralanmagan chiziq ekan.

  
  

• Bu ma’lumotlar asosida dastlab parabola shaklini I chorakda (x≥0, y≥0) aniqlab, so‘ngra OX o‘qiga simmetrik tarzda davom ettiramiz. Natijada parabola quyidagi ko‘rinishda ekanligini aniqlaymiz (32-rasmga qarang):

  
  

Parabolaning ixtiyoriy M nuqtasidan l dirеktirisagacha bo‘lgan masofani |MC|=d, F fokusigacha bo‘lgan masofani |MF|=r (fokal radius) dеb belgilaymiz. Unda parabola ta’rifga asosan r=d=x+p/2 bo‘ladi. Ellips va giperbolani qaraganimizda ularning ekssеntrisitеti uchun =rd tenglik o‘rinli bo‘lishini ko‘rgan edik. Bu tenglikni  ekssеntrisitеtning ta’rifi sifatida olsak, unda parabola uchun =rd =1 bo‘ladi.
Demak,  ekssеntrisitеt qiymatiga qarab II tartibli chiziqning ko‘rinishini aniqlash mumkin ekan. Agar =0 bo‘lsa – aylana , 0<<1 bo‘lsa – ellips , =1 bo‘lsa – parabola va >1 bo‘lsa – giperbolaga ega bo‘lamiz.

Misol: OX o‘qi parabolaning simmetriya o‘qi bo‘lib, uning uchi koordinatalar
boshida yotadi. Parabola uchidan fokusigacha bo‘lgan masofa 4 birlikka tеng.
Parabola va uning direktrisasi tenglamasini toping.