Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tenglama va chiziqlar



Yüklə 64,03 Kb.
səhifə15/16
tarix12.12.2023
ölçüsü64,03 Kb.
#148637
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16
Ikkinchi tartibli chiziqlar. Aylana va ellips II tartibli tengla-fayllar.org

Izoh. Agar a =(m, n, p) yo‘naltiruvchi vektorning biror koordinatasi 0 bo‘lsa, (1) kanonik tenglamadagi tegishli kasrning surati ham 0 deb olinadi. Masalan, n=0 bo‘lsa, unda L to‘g‘ri chiziq tenglamasi
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu holda a=(m,0,p) yo‘naltiruvchi vektor OY koordinata o‘qiga perpendikular joylashgani uchun L to‘g‘ri chiziq ham OY o‘qiga perpendikular bo‘ladi.

Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning (1) kanonik tenglamasidagi o‘zaro teng bo‘lgan kasrlarning qiymatlarini t deb belgilaymiz. Bunda t parametr deb ataladi va ixtiyoriy haqiqiy qiymatni qabul eta oladi. Bu holda fazodagi to‘g‘ri chiziq tenglamasini quyidagi ko‘rinishga keltiriladi:


2-TA’RIF: (2) fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deyiladi.
Masalan, kanonik tenglamasi
bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi


x=5+3t, y=−1+4t, z=−2t
ko‘rinishda bo‘ladi.
Agar fazodagi to‘g‘ri chiziq (2) parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, uning kanonik tenglamasiga o‘tish uchun har bir tenglamadan t parametr ifodasini topib, bu ifodalarni tenglashtirish kerak. Masalan, to‘g‘ri chiziq

x=−4+5t, y=6−3t, z=−1−2t
parametrik tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini topamiz:


Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi
Fazodagi har qanday L to‘g‘ri chiziqni o‘zaro parallel bo‘lmagan qandaydir ikkita P1 va P2 tekisliklarning kesishish chizig‘i singari qarash mumkin. Bu P1 va P2 tekisliklar mos ravishda A1x+ B1y+ C1z+D1=0 va A2x+ B2y+ C2z+D2=0 umumiy tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda ularning kesishishidan hosil bo‘lgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli M(x, y, z) nuqtalar ham P1, ham P2 tekisliklarda yotadi va shu sababli ularning koordinatalari

(3)
chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi.




3-TA’RIF: (3) sistema fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi.
Agar fazodagi L to‘g‘ri chiziq (1) kanonik tenglamasi orqali berilgan va, masalan, p≠0 bo‘lsa, uning umumiy tenglamasiga quyidagicha o‘tish mumkin:

Hosil qilingan (4) sistema berilgan L to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi bo‘ladi, chunki bu sistema (3) ko‘rinishda bo‘lib, undan


A1=p, B1=0, C1=−m, D1=mz0px0 va A1=0, B1=p, C1=−n, D2=nz0py0
holda kelib chiqadi. Bunda L to‘g‘ri chiziq birinchisi OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lgan tekisliklarning kesishishidan hosil qilinadi.


Izoh. Fazodagi berilgan L to‘g‘ri chiziqning (3) umumiy tenglamasini cheksiz ko‘p ko‘rinishda yozish mumkin. Bunga sabab shuki, bu L to‘g‘ri chiziq orqali cheksiz ko‘p tekislik o‘tkazish mumkin va ulardan ixtiyoriy ikkitasini tanlab olib, (3) umumiy tenglamaga kelib bo‘ladi. Yuqorida kanonik tenglamadan umumiy tenglamaga o‘tishda shu tekisliklar ichidan biri OY, ikkinchisi esa OX o‘qiga parallel bo‘lganlari olindi.
Masalan, kanonik tenglamasi
bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamalaridan birini topamiz:

.
Endi aksincha, ya’ni fazodagi to‘g‘ri chiziq (3) umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin. Bu holda (3) sistemada biror o‘zgaruvchini, masalan z o‘zgaruvchini, erkli deb olamiz va


(5)
chiziqli tenglamalar sistemasini hosil etamiz. Bu sistemani yechib,


ko‘rinishdagi kanonik tenglamaga kelamiz.
Misol sifatida umumiy tenglamasi

(6)
bo‘lgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalaridan birini topamiz:

Umumiy tenglamasi (3) bilan berilgan L to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini boshqa usulda ham topish mumkin. Buning uchun (3) sistemadagi biror o‘zgaruvchiga aniq bir qiymat beriladi. Masalan, z=z0 deb olinib, (5) sistemadan x=x0 va y=y0 topiladi. Bu holda M0(x0, y0, z0) nuqtani L to‘g‘ri chiziqning boshlang‘ich nuqtasi sifatida olish mumkin. Endi (3) sistemaga kiruvchi tekisliklarni P1 va P2 deb olsak, n1=(A1, B1, C1) va n2=(A2, B2, C2) ularning normal vektorlari bo‘ladi. Bu vektorlar mos ravishda P1 va P2 tekisliklarga perpendikular, L esa ularning kesishish chizig‘i ekanligidan , n1 va n2 normallarning ikkalasi ham L to‘g‘ri chiziqqa perpendikular bo‘ladi. Unda a= n1× n2 vektorial ko‘paytma L to‘g‘ri chiziqqa parallel vektorni ifodalaydi va shu sababli uning yo‘naltiruvchi vektori sifatida olinishi mumkin. Bu vektorning m,n, va p koordinatalari vektorial ko‘paytmaning ushbu formulasidan (III bob, §3, (2) formulaga qarang) topiladi:



Yüklə 64,03 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   16




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə