Isbot: Bu tenglamalardan n1=(А1,В1,С1) va n2=(А2,В2,С2) normal vektorlarni hosil etamiz. Ularning ikkalasi ham P tekislikka perpendikular va shu sababli kollinear vektorlar bo‘ladilar. Unda, vektorlarning kollinearlik shartiga asosan,
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bunda μ proporsionallik koeffitsiyentini ifodalaydi. Bu holda
bo‘lgani uchun, yuqoridagi tenglamalardan ikkinchisini μ soniga ko‘paytirib va birinchisidan hadma-had ayirib
ekanligini ko‘ramiz. Bu nisbatni yuqoridagi nisbatlar bilan solishtirib, lemmadagi tasdiqni to‘g‘riligiga ishonch hosil etamiz.
Bu lemmaga asosan P tekislikning (1) umumiy va (3) normal tenglamalaridan
tengliklarga ega bo‘lamiz. Bunda yo‘naltiruvchi kosinuslar xossasidan foydalanib, μ proporsionallik koeffitsiyentini topamiz:
Bu yerdan
.
ekanligini topamiz. Bunda μ normallashtiruvchi ko‘paytuvchi deb ataladi va uning ishorasi p=(–D/ μ)≥0 shartdan aniqlanib, D ozod had ishorasiga qarama-qarshi qilib olinadi.
Shunday qilib tekislikning (1) umumiy tenglamasidan (3) normal tenglamasiga o‘tish uchun uni
soniga ko‘paytirish kerak.
Misol: Tekislikning 2х–у+2z–5=0 umumiy tenglamasidan normal tenglamasiga o‘ting.
Yechish: Normallashtiruvchi μ ko‘paytuvchini topamiz va berilgan umumiy tenglamani unga ko‘paytirib, normal tenglamani topamiz:
.
Bunda ozod had D=–5<0 bo‘lgani uchun μ ishorasi musbat qilib olindi va normal tenglamada
bo‘ladi.
FAZODAGI TO‘GRI CHIZIQ TЕNGLAMALARI
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi.
Fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi
Fazodagi L to‘g‘ri chiziq tenglamasini topish uchun unga parallel bo‘lgan biror a =(m, n, p) vеktor shu to‘g‘ri chiziqda yotuvchi biror М0(х0, у0, z0) nuqta ma’lum deb olamiz. Bunda a berilgan L to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vеktori, M0 esa boshlang‘ich nuqtasi deyiladi.
M(x, y, z) berilgan L to‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy bir nuqtasi bo‘lsin. Bu va M0 nuqtalarni tutashtirib,
r=
vеktorni hosil qilamiz (38-rasmga qarang).
Agar M(x, y, z) nuqta berilgan L to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lsa va faqat shu holda r bilan a yo‘naltiruvchi vеktor kollinear bo‘ladi. Bundan va vektorlarning kollinearlik shartidan (III bob, §3, (6) formulaga qarang) foydalanib, L to‘g‘ri chiziqni ifodalovchi
(1)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
1-TA’RIF: (1) fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi deyiladi.
To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasidagi kasrlarning maxrajlaridagi m,n va p sonlari yo‘naltiruvchi a vеktorning koordinatalari, suratlardagi х0,у0 va z0 sonlari esa boshlang‘ich M0 nuqtaning koordinatalari ekanligini ta’kidlab o‘tamiz.
Dostları ilə paylaş: |
