Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Pedagogika va psixologiya fakulteti Boshlangich ta'lim yo'nalishi3- kurs 21.33a guruh talabasi Abdumutalifova Mukarramxon

Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari

Reja:
Haqiqiy ko’rsatkichli daraja.
Ko’rsatkichli funksiya.
Giperbolik funksiyalar.
Uzluksiz funksiyaning nolga aylanishi haqidagi teorema.
Teorema. (Bol’tsano-Koshining birinchi teoremasi). Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lib, kesmaning chetki nuqtalarida qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’lsa, u holda f(c)=0 tenglikni qanoatlantiradigan c (aIsbot. f(a)>0, f(b)<0 bo’lsin, [a;b] ni teng ikki [ ] va [ ] qismga bo’lamiz. Agar f( )=0 bo’lsa, teorema isbot qilingan bo’ladi. f( )¹0 bo’lsin, u holda bo’lakchalarning birining uchlarida funksiya qarama-qarshi ishorali qiymatlarga ega bo’ladi. Usha kesmani [a1;b1] orqali belgilaymiz. f(a1)>0, f(a2)<0 bo’ladi. Endi [a1;b1] ni teng ikkiga bo’lamiz va yuqoridagi mulohazani [a1;b1] ga nisbatan takrorlaymiz va hakoza. Umuman quyidagi ikki holdan biri yuz beradi:
Uzluksiz funksiyalarning oraliq qiymatlari haqidagi teorema.
Teorema. (Bol’tsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo’lib, f(a)=A, f(b)=B va AIsbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bol’tsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya’ni f(c)=C bo’ladi.
Teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi.
Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat’iy o’suvchi (qat’iy kamayuvchi) bo’lsa, bu funksiyaning qiymatlar to’plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo’lib, u uzluksiz va qat’iy o’suvchi (kat’iy kamayuvchi) bo’ladi.
Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo’lgani uchun Bol’tsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to’ldiradi. Shuning uchun har bir y0 Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y0 bo’ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi yagona bo’ladi. Haqiqatan, dan farqli x1 nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo’lib, x1 bo’lgani uchun f( ) f(x1) bo’ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradigan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo’lgan x=(y) funksiya mavjud.