Teorema. (Qisuvchi akslantirishlar prinsipi).To ‘la metrik fazoda aniqlangan har qanday qisuvchi akslantirish yagona qo‘zg‘almas nuqtaga ega .
Isbot. X metrik fazodan ixtiyoriy nuqtani olamiz. Keyin ,
, ……….., ,……. Nuqtalar
ketma-ketligini qaraymiz.Ixtiyoriy natural sonlar uchun.
Tengsizlik o ‘rinli . bo ‘lgani uchun
Shuning uchun ketma –ketlik fundamentaldir. X to ‘la metrik fazo va
Fundamental ketma-ketlik bo ‘ lgani uchun u yaqinlashuvchi . Aytaylik ,
Bo ‘lsin.U holda A akslantirishning uzluksizligiga ko ‘ra
.
Shunday qilib ,A akslantirish uchun qo ‘zg ‘almas nuqta mavjud ekan .Uning yagonaligini isbotlaymiz.Agar
Desak,(1) tenglikka ko ‘ra
Bundan bo ‘lgani uchun
Ya’ni bo ‘lishi kelib chiqadi.Qo ‘zg ‘almas nuqta yagona ekan .
Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tatbiqlari.
Qisuvchi akslantirishlar prinsipini har hil tipdagi tenglamalar yechimlari mavjudligi va yagonaligi haqidagi teoremalarni isbotlashda qo ‘llash mumkin. Qisuvchi akslantirishlar prinsipini tenglama yechimi mavjudligi va yagonaligini isbotlash uchungina qo ‘llanib qolmay,bu tenglama yechimini toppish usuli ham beradi.
Qisuvchi akslantirishlar prinsipining tadbig ‘iga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi va
,
Formulalar orqali aniqlangan A akslantirishning qisuvchilik shartlarini toping.
Yeshish. Qanday shartlarda A qisuvchi akslantirish bo ‘ladi?Bu savolga javob fazoda qanday metrika berilishiga bog ‘liq.Biz quydagi uch xil variantni qaraymiz:
fazo,ya’ni bo ‘lsin.
Bu yerdan kelib chiqadiki, A qisuvchi akslantirish bo ‘lishi uchun
(2)
Shartning bajarilishi yetarli.Shuning uchun fazoda (2) shartni akslantirishning qisuvchilik sharti sifatida qabul qilamiz.
fazo ,ya’ni bo‘lsin .U holda
Bu yerdan ko ‘rinadiki, A akslantirish uchun qisuvchilik sharti fazoda
(3)
Ko ‘rinishga ega .
fazo ya’ni
Bo‘lsin.U holda
Yuqorida keltirilgan tenglik va tengsizliklarga ko ‘ra fazoda A akslantirishning qisuvchilik sharti
(4)
Ko ‘rinishga ega.
Shunday qilib ,agar (2)--(4) shartlardan birortasi bajarilsa, u holda yagona
nuqta mavjud bo ‘lib,
bo‘ladi.Bundan tashqari bu nuqtada ketma-ket yaqinlashishlari quydagi ko‘rinishga ega
Bu yerda sifatida dagi ixtoyoriy nuqtani qabul qilish mumkin.
Qaralayotgan akslantirish qisuvchi bo ‘lishi uchun (2)-(4) shartlarning ixtiyoriy birining bajarilishi yetarli.Isboti mumkinki (2) va (3) shartlar mos ravishda va fazolarda akslantirish qisuvchi bo‘lishi uchun zarur ham bo ‘ladi.
Ta’kidlash lozimki,(2)-(4) shartlarning birortasi ham ketma-ket yaqinlashishlar usulining tadbig‘I uchun zarur emas.
Agar bo ‘lsa u holda (2)-(4) shartlarning hammasi bajariladi va ketma-ket yaqinlashishlar usilini qo ‘llash mumkin.
Agar bo ‘lsa , u holda (2)-(4) shrtlarning birortasi ham bajarilmaydi.
Dostları ilə paylaş: |
