Kompleks sonlar va ular ustida amallar. Reja

3. Kompleks sonllar ustida arifmetil amallar.
Kompleks sonlar algebraik shaklda berilgan bo‘lsin, ya’ni z₁  x₁ iy₁ va z₂  x₂ iy₂ . Bu kompleks sonlarning yig‘indisi deb,
z₁  z₂  (x₁ iy₁)(x₂ iy₂)  (x₁  x₂)i(y₁  y₂)
tenglik bilan aniqlanuvchi kompleks songa aytiladi. Bu formuladan vektorlar bilan ifodalangan kompleks sonlarni qo‘shish vektorlarni qo‘shish qoidasi bo‘yicha bajarilishi kelib chiqadi (2-chizma). Demak, algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni qo‘shish uchun haqiqiy qismi haqiqiy qismiga, mavhum qismi mavhum qismiga qo‘shilar ekan.

2-chizma. 3-chizma.
Ikkita z₁  x₁ iy₁ va z₂  x₂ iy₂ kompleks sonning ayirmasi deb, shunday songa aytiladiki, u z₂ ga qo‘shilganda yig‘indida z₁ kompleks son hosil bo‘ladi (3chizma). Demak, algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni ayirish uchun haqiqiy qismi haqiqiy qismidan, mavhum qismi mavhum qismidan ayrilar ekan.
z₁  z₂  (x₁ iy₁)(x₂ iy₂)  (x₁  x₂)i(y₁ y₂)
Shuni ta’kidlab o‘tamizki, ikki kompleks son ayirmasining moduli kompleks tekislikda shu sonlarni ifodalovchi nuqtalar orasidagi masofaga teng:
z₁  z₂  (x₁  x₂)² (y₁  y₂)²
2-misol. z₁  2i va z₂  23i kompleks sonlarning yig‘indisi va ayirmasini
toping.
z₁  z₂  (2i)(23i)  (2 2)i(13)  42i z₁  z₂  (2i)(23i)  (22)i(13)  4i.
z₁  x₁ iy₁ va z₂  x₂ iy₂ kompleks sonning ko‘paytmasi deb, bu sonlarni ikkihad sifatida algebra qoidalari bo‘yicha ko‘paytirish va i² ¹ ekanini hisobga olish natijasida hosil bo‘ladigan kompleks songa aytiladi. z₁ va z₂ kompleks sonlar trigonometrik shaklda berilgan bo‘lsin:
z₁  r₁(cos₁ isin₁) va z₂  r₂(cos₂ isin₂) Shu sonlarning ko‘paytmasini hisoblaymiz:
z₁z₂  r₁(cos₁ isin₁)r₂(cos₂ isin₂) 
= 𝑟₁ ∙ 𝑟₂[(cos 𝜑₁ cos 𝜑₂ − sin 𝜑₁ sin 𝜑₂) + 𝑖 ∙ (sin𝜑₁ cos 𝜑₂ + cos 𝜑₁ sin 𝜑₂)] =
 r₁r₂(cos(₁ ₂)isin(₁ ₂)^.
Shunday qilib,
z₁z₂  r₁r₂(cos(₁ ₂)isin(₁ ₂)
ya’ni ikkita kompleks son ko‘paytirilganda ularning modullari ko‘paytiriladi, argumentlari esa qo‘shiladi.

3-misol. z₁  3 i, z₂  22 3i kompleks sonlarni algebraik shakilda va trigonometrik shakillarda ko‘paytiring.
1)

= 2√3 − 2𝑖 + 6𝑖 + 2√3 = 4√3 + 4𝑖
11 11^cosi^sin_, 2) z₁  3 i 2(cos isin ), z₂  2 2 3i 4_
6 6  3 3 
z1  z2  2cos11 isin11 4cos isin  
 6 6   3 3 
 8cos(116 3) isin(11 6  3)  8cos13 6 isin136  

 8^_cos^2^ 6 _^ isin^_2^ 6 ^_^_  8^_cos^ 6 isin^ 6 ^_  8 2  4 3  4i.
_{ }
Kompleks sonlarni bo‘lish amali ko‘paytirishga teskari amal sifatida aniqlanadi. Agar z z₂  z₁ bo‘lsa, z soni z₁  x₁ i y₁ ning z₂  x₂ i y₂ kompleks
z¹ ) deyladi. soniga bo‘linmasi (ya’ni z  z₂

z₁  z z₂ tenglikning ikkala qismini z₂  x₂ iy₂ ga ko‘paytiramiz, ushbuga ega bo‘lamiz:


z₁z₂  z(z₂ z₂ ), bundan: z  zz1 zz2  x1x^x2₂  ^y_y1₂₂y2 i x2_x^y₂₂1 _ ^x_y1₂₂y2 .
_{2 2 2}
Bundan ushbu qoida chiqadi: z₁ ni z₂ ga bo‘lish uchun bo‘linuvchi va bo‘luvchini bo‘luvchiga qo‘shma bo‘lgan kompleks songa ko‘paytirish kerak.
Agar kompleks sonlar z₁  r₁ (cos₁ isin₁) va z₂  r₂ (cos₂ isin₂) trigonometrik shaklda berilgan bo‘lsa, u holda
z₁ r₁ (cos₁ isin₁) r₁ (cos₁ isin₁)(cos₂ isin₂)

z₂  r₂ (cos₂ isin₂)  r₂ ( 2 isin22)  cos 2 
rr¹₂ (cos₁ cos₂ sin₁ sin₂) i(sin₁ cos₂ cos₁ sin₂)
 
r¹ cos(₁ ₂) isin(₁ ₂).
  r₂ Shunday qilib,
^z1  ^r1 cos(₁ ₂) isin(₁ ₂), z2 r2
ya’ni kompleks sonlarni bo‘lishda bo‘linuvchining moduli bo‘luvchining moduliga bo‘linadi, argumentlari esa ayriladi.
4-misol. z₁ 1i ni z₂  22i ga algebraik shakilda bo‘ling.
z1 1i (1i)(2 2i) (2 2)i(2 2) 4i 1i.
Yechish. 1)     
z₂ 22i (22i)(2 2i) 44 8 2
4. Kompleks sonni darajaga ko‘tarish va ildizdan chiqarish
Ko‘paytirish qoidasidan darajaga ko‘tarish qoidasi kelib chiqali.
𝑧 = 𝑟 ∙ (cos 𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝜑)
uchun natural n da
𝑧^𝑛 = 𝑟^𝑛 ∙ (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 ∙ sin 𝑛𝜑)
ekani kelib chiqadi. Bu formula Muavr formulasi deyiladi. Bu formula kompleks sonni natural darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tarilishi, argument esa daraja ko‘rsatkichiga ko‘paytirilishi kerakligini ko‘rsatadi.
5-misol. Mavhum birlik i ning natural darajasi uchun formula toping.
Yechish.
𝑖¹ = 𝑖 , 𝑖² = −1 , 𝑖³ = 𝑖 ∙ 𝑖² = −𝑖 , 𝑖⁴ = 𝑖² ∙ 𝑖² = 1 , 𝑖⁵ = 𝑖 ∙ 𝑖⁴ = 𝑖 ,
𝑖⁶ = 𝑖 ∙ 𝑖⁵ = 𝑖² = −1 , 𝑖⁷ = 𝑖 ∙ 𝑖⁶ = −𝑖 , 𝑖⁸ = 𝑖⁷ ∙ 𝑖 = −𝑖² = 1.
Umuman,
𝑖4𝑘 = 1 , 𝑖4𝑘+1 = 𝑖 , 𝑖4𝑘+2 = −1 , 𝑖4𝑘+3 = −𝑖
6-misol. (1 + 𝑖)¹⁰ ni hisoblang.
Yechish.
.


z10  (1i)10   210 cos isin 10  25 cos10 isin10   32(0i)  32i
 4 4   4 4 

Bu amal darajaga ko‘tarish amaliga teskari amaldir. Kompleks sonning n darajali ildizi ⁿ z deb shunday W songa aytiladiki, bu sonning 𝒏 darajasi ildiz ostidagi songa tengdir, ya’ni agarW  ⁿ z bo‘lsa, Wⁿ z.
Agar z  r (cosisin) va W   (сos isin ) bo‘lsa, u holda:

ⁿ r (cosisin)  (ñosisin). Muavr formulasiga binoan:
r(cos  isin )  ⁿ (сosnisinn).
Bundan ⁿ  r, n 2k.  va _ nitopamiz:

Bunda 𝑘 – istalgan butun son, -arifmetik ildiz. Demak,

n r (cosisin)  n r cos n2k isin n2k  .

𝑘 ga 1,2,3,… , 𝑛 − 1 qiymatlar berib, ildizning 𝒏 ta har xil qiymatiga ega bo‘lamiz, bu qiymatlarning modullari bir xil. kn1 daildizning topilgan qiymatlari bilan bir xil bo‘lgan qiymatlar hosil bo‘ladi. 𝒏 ta ildizning hammasi markazi koordinatalar boshida bo‘lib, radiusi ga teng aylana ichiga chizilgan muntazam n tomonli ko‘pburchak uchlarida yotadi.
5. Ko‘rsatkichi kompleks bo‘lgan ko‘rsatkichli funktsiya. Eyler formulasi, uning qo‘llanishi.
Ta’rif. Agar kompleks o‘zgaruvchi 𝑧 ning biror kompleks qiymatlar sohasidagi har bir qiymatga boshqa W kompleks miqdorning aniq qiymati mos kelsa, u holda W kompleks o‘zgaruvchi 𝑧 ning funksiyasi deyiladi va 𝑊 = 𝑓(𝑧) yoki 𝑊 = 𝑊(𝑧) kabi belgilanadi.
Biz kompleks o‘zgaruvchining bitta funktsiyasini-ko‘rsatkichli funksiyani qaraymiz:
𝑊 = 𝑒^𝑧 yoki 𝑊 = 𝑒^{𝑥+𝑖𝑦} , bu funksiya bunday aniqlanadi:
е^{х iy}  e^x (cos y  i sin ).y
Agar bu formulada 𝑥 = 0 desak, u holda
е^iy  cos y isin y.
Bu formula mavhum ko‘rsatkichli darajali funktsiyani trigonometrik funktsiyalar orqali ifodalovchi Eyler formulasidir. Kompleks sonni trigonometrik shaklda ifodalaymiz:
z  r(cos y isin y).
Eyler formulasi bo‘yicha:
cos y  i sin y  е^i.
Shunday qilib, har qanday kompleks sonni ko‘rsatkichli shaklda ifodalash mumkin:
z r е^i.
7-Misol. 1, i, 1i, i sonlarni ko‘rsatkichli shaklda ifodalang.
Yechish. 1) Agar z₁ 1 bo‘lsa, r 1,  2k bo‘ladi, shu sababli
1 cos2k isin2k е^2ki.

2. 
   z₂ i, r 1, ^ , shu sababli:
   

2

i i  cos^  i sin^  е ²
2 2

2. 
   z₃ 1i, r  2, ^ , shu sababli: 4
   

1 i 2 ( cos^{ } _isin )  2 _е^4i.
4 4
Ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish amallari ko‘rsatkichli shaklda oson bajariladi.
z₁  r₁ e^i1 , z₂  r₂ e^i2 bo‘lsin. U holda:

z z1  2  r e1  i1 r e2  i2  r r e1  2  i(1 2 ) , zn  rn ei n . z1  r e1  i1  r1 ei 1 2) , n z  n rei  n r e  2n ki .
z r ei r
2 ₂  2 2
Bu formulalar shu amallarning o‘zi uchun trigonometrik shaklda chiqarilgan formulalar bilan bir xil.
O‘z-o‘zini tekshirish savollari.

1. 
   Kompleks son deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Qanday kompleks sonlar teng, qarama-qarshi, qo‘shma kompleks sonlar deyiladi?
   
3. 
   Kompleks sonning algebraik va trigonometrik shakli orasidagi bog‘lanish qanday?
   
4. 
   Kompleks sonlarni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish qoidalari qanday?
   
5. 
   Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish formulalari.
   
6. 
   Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni darajaga ko‘tarishning Muavr formulasi.
   
7. 
   Eyler formulasi. Kompleks sonning ko‘rsatkichli shakli.
   
8. 
   Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni darajaga ko‘tarishning Muavr formulasi.
   
9. 
   Kompleks sondan ildiz chikarish formulasini ayting.
   
10. 
    Kompleks sonning ko‘rsatkichli shakli.
    
11. 
    Eyler formulasi bayon qiling.