Ko’rsatkichli tenglama va tengsizliklarni o’qitish metodikasi kirish

1.1. Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish usullari
Noma’lum daraja ko‘rsatkichida ishtirok etgan tenglam a ko'rsatkichli tenglama deyiladi. Eng sodda ko'rsatkichli tenglamaga a^x - b (bunda ko‘rsatkichli tenglama asosi a > 0, a ≠1) tenglam a misol bo‘la oladi. Bunday tenglamani grafik usulda yechish mumkin.
Ushbu a^f(x) =a ^ф(x) (bunda a>0, a≠1) tenglamaning yechilishi bu tenglamani f(x) = ф(х) tenglamaga teng kuchli ekanligiga asoslanadi, ya’ni a^f(x) =a ^ф(x)⇔ f(x) = ф(х).

1-usul. Umumiy asosga keltirish usuli.

1-misol.
tenglamani yeching.
Yechilishi.

Javob:
2-misol. tenglamani yeching.
Yechilishi.

Javob:
2 - usul. Ko‘paytuvchilarga ajratish usuli.
3-misol. 5^x+3*5^x-2=140 tenglamani yeching
Yechilishi. )=140⇔
Javob: 3.
4-misol.
tenglamani yeching.
Yechilishi.


Javob: -
3 - usul. K vadrat tenglamaga keltirish usuli. Ushbu
Aa^2x+Ba^x+C = 0
ko‘rinishdagi tenglama (bunda А, В, С — haqiqiy sonlar) a^x= t almashtirish orqali kvadrat tenglamaga keltiriladi.
5 -m iso l. 5^2x- 6 • 5^x+ 5 = 0 tenglamani yeching.
Yechilishi. 5^x= t almashtirishni kiritamiz. U holda

Qabul qilingan almashtirishni hisobga olsak,

Javob: {0; 1}.
6 -misol. 4^x+ 2^X+1 - 80 tenglamani yeching.
Yechilishi. 4^x+2^x+1=80 ⇔ 2^2x+2+2*^2x -80=0. 2^x = t almashtirishni kiritamiz. U holda

Qabul qilingan almashtirishni inobatga olib, ushbu tenglamalarga ega boMamiz: 2^X = -10, bu tenglama ko‘rsatkichli funksiya o‘zining aniqlanish sohasida musbat funksiya boMganligi sababli yechimga ega emas.
2^x - 8 ⇔ 2^x = 2³ ⇒ [x =3.
Javob: 3.
Ushbu

ko‘rinishdagi tenglama ham kvadrat tenglamaga keltiriladi. Buning uchun tenglamaning har ikkala tomoni b^2x ga bo‘lib, tegishli almashtirish bajariladi:

7-misol. 9^x+6^x-2*4^x=0 tenglamani yeching.
Yechilishi.

Bajarilgan almashtirishni hisobga olsak, quyidagi tenglamalarga ega bo’lamiz:

Javob: 0
4 - usul. Asosi ham, daraja ko ‘rsatkichi ham noma’lumga bog‘ liq bo‘lgan funksiya ishtirok etgan ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish usuli.
Ushbu ko‘rinishdagi tenglamalarni yechishda quyidagi uchta hol ko‘riladi:

Bu tenglam alarning yechim lari berilgan tenglam ani to‘g ‘ri tenglikka aylantirishi tekshirib ko'rilgach, tegishli ildizlari topiladi.
8-misol.
Yechilishi. 1) x=3=1⇒[x=-2;
2) x+3=0⇒[x=-3;
3) Daraja ko‘rsatkichlarini tenglashtiramiz:

Javob: { -2; - 1; 3}.
5 - usul. Grafik usul. Bu usul tenglama ildizlarini yuqorida bayon qilingan analitik usullari bilan aniq topish imkoni bo’lmagan hollarda qo‘llaniladi.
9-misol. tenglamani yeching.
Yechilishi. funksiyalarining grafiklrini bir chizmada tasvirlaymiz.

RAsmdan bu funksiyaning grafiklari abssissasi x=1 nuqtada kesishishi ko’rinib tuibdi. Haqiqatdan ham, x=1 da

To’g’ri tenglik hosil bo’ladi. Demak, x=1 tenlama ildizi.
Tenglamaning boshqa ildizlari yo’q ekanin ko’rsatamiz. kamaytuvchi funksiya, esa o’suvchi funksiya. Shu sababli X>1da funksiyasining qiymatlari dan kichik, funksiyaning qiymatlari esa katta, ikkinchisining qiymatlari esa dan kichik. Shu sababli, bu funksiyalarning grafiklari abssissasi x= 1 dan boshqa kesishish nuqtalariga ega bo’lmaydi.
Javob: x=1.
10-misol. tenglamalarning ildizi (- ∞ ; -2), (-2; -1), (-1; 1) oraliqlardan qaysi biriga tegishli?
Yechilishi. Bu masalani yechishda ham grafik usuldan foydalanamiz.

va y=2 funksiyalarning grafiklari tasvirlangan. Bu funksiyalar grafiklari kesishish nuqtasining abssissasi x≈11,35 ko’rsatilgan oraliqlardan ikkinchisiga- (-2; -1) ga tegishli ekanligi ko’rinib turibdi.
Javob: (-2; -1).