Kurs ishi Reja (Mundarija)

2.2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalari
1⁰. Agar x_n =a va a>p (a bo`lsa, y holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub> >p (x<sub>n</sub> bo`ladi.
Isbot. a>p bo`lsin, ni 0< tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib olamiz. x<sub>n</sub>=a bo`lganidan >0 uchun n₀ natural son topilib, n>n₀ larda
a- _n bo`ladi. dan a- >p bo`lib, x_n>p ekanligi kelib chiqadi.
( a hol ham shu kabi qaraladi).
Natija. Agar x_n=a va a>0 (a<0) bo`lsa, u holda biror nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>0 (x<sub>n</sub><0) bo`ladi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik yagona limitga ega.
Isbot. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik a va b limitlarga ega bo`lsin, bunda a. Haqiqiy sonlar to`plamining zichlik xossasiga binoan shunday r son mavjud bo`lib, a bo`ladi. x_n=a, a bo`lganligi uchun biror n<sub>1</sub> nomerdan boshlab, x<sub>n</sub> x<sub>n</sub>=b, b>r bo`lganligi uchun biror n₂ nomerdan boshlab x_n>r bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub> va x<sub>n</sub>>r kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
2⁰. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangan bo`ladi, yani M son mavjud bo`lib, barcha n lar uchun | x_n | tengsizlik o`rinlidir.
Isbot. x<sub>n</sub>=a bo`lsin. Biror >0 son olaylik. U holda biror nomerdan boshlab a- _n tengsizlik o`rinli bo`ladi. |x₁|, |x₂|, …, | |, |a- |, |a+ | sonlarning eng kattasini M desak, ixtiyoriy n lar uchun |x_n| ekanligi kelib chiqadi. Bundan (x_n) ketma-ketlikning chegaralanganligi kelib chiqadi.
1. Agar barcha n lar uchun x_n=y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a=b bo`ladi.
Isboti limitning yagonaligidan kelib chiqadi.
2. Agar barcha n lar uchun x_n>y_n bo`lib, x<sub>n</sub>=a, y<sub>n</sub>=b bo`lsa, u holda a b bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik a>b bo`lsin. a va b sonlar orasida r son olsak, a>r>b, x_n=a, a>r bo`lgani uchun biror n<sub>1</sub>, nomerdan boshlab x<sub>n</sub>>r, y<sub>n</sub>=b, b<r bo`lgani uchun biror n₂ nomerdan boshlab y_n bo`ladi. n<sub>0</sub>=max{n<sub>1</sub>,n<sub>2</sub>} deb olsak, n>n<sub>0</sub> larda x<sub>n</sub>>r va y<sub>n</sub> kelib chiqadi. Bundan x<sub>n</sub>>y<sub>n</sub> bo`ladi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
3.Agar barcha n lar uchun x<sub>n n</sub> < z<sub>n</sub> bo`lib, x_n= z_n=a bo`lsa, u holda y<sub>n</sub>=a bo`ladi.(isbotlang)
Teorema'>2.3.Tenglik va tengsizlikda limitga o`tish
Teorema. Agar (x <sub>n</sub>) va (y <sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda
(x_n y_n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lib, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub> tenglik o`rinli .
Isbot. x_n =a, y_n =b desak, u holda x_n=a+ _n, y_n=b+ _n deb olish mumkin, bu yerda _n va _n lar cheksiz kichik miqdorlar.
x_ny_n=(a+ _n)  (b+ _n)=ab+ _n _n =ab+ _n, bunda _n= _n _n - 1 – lemmaga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x_ny_n)=ab= x_n y_n.
Teorema. Agar (x_n) va (y_n) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo`lsa, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, (x_ny_n)= x_n y_n tenglik o`rinli .
Isbot. Oldingi teorema isbotidagi belgilashlarni kiritsak
x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>=(a+ <sub>n</sub>) (b+ <sub>n</sub>)=ab+a <sub>n</sub>+b <sub>n</sub> + <sub>n n</sub> =ab+ <sub>n</sub>, bunda <sub>n</sub>= a <sub>n</sub>+b <sub>n</sub> + <sub>n n</sub> - 1,2 – lemmalarga asosan cheksiz kichik miqdor. Demak, (x<sub>n</sub>y<sub>n</sub>)=ab= x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>.
Teorema. Agar (x<sub>n</sub>) va (y<sub>n</sub>) ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va y<sub>n</sub> 0 bo`lsa,
( ) ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo`lib, tenglik o`rinli .
Tеоrеmа: Аgаr {x_n} kеtmа-kеtlik mоnоtоn o`suvchi bo`lib u yuqоridаn chеgаrаlаngаn bo`lsа, u chеkli limitgа egа bo`lаdi.
Isbоti: Tеоrеmа shаrtigа ko`rа {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtligimiz yuqоridаn chеgаrаlаngаni uchun u o`zining аniq yuqоri chеgаrаsigа egа bo`lаdi. Fаrаz qilаylik a sоni {x<sub>n</sub>} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsin, u hоldа (“Suprеmum”) sup{x_n}=a
Аgаr a sоni {x_n} kеtmа-kеtlikning аniq yuqоri chеgаrаsi bo`lsа quyidаgi ikkitа shаrt bаjаrilаr edi.
1. x_na
2. >0, N n>N bo`lgаndа a-<sub>N</sub>a bo`lаr edi.
Tеоrеmа shаrtigа ko`rа kеtmа - kеtlik o`suvchi bo`lgаnligi uchun x<sub>N</sub> < x<sub>n</sub> bo`lаdi. Mоnоtоn o`suvchi bo`lgаnligidаn а- < x_N  a tеngsizlik o`rinli bo`lаdi. Bu tеngsizlikdаn a-_n dеb yozishimiz mumkin yoki a-x_n< yoki x_n-a< bo`lаdi. Bu dеgаn so`z kеtmа - kеtlik limitining tа`rifigа ko`rа dеgаnidir.
X to`plamdan x<sub>0</sub>єX nuqtani olib, (1) ketma-ketlik har bir hadining shu nuqtadagi qiymatini hisoblab, natijada f<sub>1</sub>(x<sub>0</sub>), f<sub>2</sub>(x<sub>0</sub>), …, f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>), … (2) sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ta`rif. Agar {f_n(x₀)} sonlar ketma-ketligi yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, u holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ta`rif. Agar {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamining har bir nuqtasida yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsin, u holda u X to`plamda yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi.
Ba`zi hollarda funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi aniqlanish sohasiga teng yoki uning bir qismi yoki bo`sh to`plam bo`lishi mumkin.
Aytaylik, X to`plam (XcR) {f_n(x)} funksional ketma-ketlikning yaqinlashish sohasi bo`lsin. Unda X to`plamdan olingan har bir X nuqtada funksional ketma-ketlik sonlar ketma-ketligiga aylanib, u yaqinlashuvchi, ya`ni chekli limit ga ega bo`ladi. X to`plamdan olingan har bir X ga unga mos keladigan sonli [0, )ning chekli limitini mos qo`ysak, unda funksiyaga ega bo`lamiz. Unda {f<sub>n</sub>(x)} funksional [0, ) ning limiti funksiyasi deyiladi:
=f(x) (3). Bu holda {f<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik X sohada (X sohaning har bir nuqtasida) f(x) ga yaqinlashadi deyiladi. Boshqacha aytganda, har qanday E>0 son hamda har qanday x(xєX) nuqta olganda ham shunday n natural son n (u olingan E va x larga bog`liq) topiladiki, barcha n>N uchun (4) tengsizlik bajariladi.
Ta`rif. Agar son olganda ham, faqat E ga bog`liq shunday n₀ natural son topilsaki, barcha n>N uchun tengsizlik bajarilsa, {f_n(x)} funksional ketma-ketlik X to`plamda f(x) ga tekis yaqinlashadi deyiladi.
Biror X to`plamda (XcR) f₁(x), f₂(x),…,f_n(x),… (1) funksional ketma-ketlik berilgan bo`lsin.
Ta`rif. (1) ketma-ketlik hadlarida tashkil topgan (2) ifoda funksional qator deyiladi. Bunda, f₁(x), f₂(x),… funksiyalar (2) qatorning hadlari f_n(x) esa uning umumiy hadi deyiladi.
(2) funksional qator hadlari yordamida tuzulgan ushbu:
S₁(x)=f₁(x)
S₂(x)=f₁(x)+f₂(x)
………………..
S_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x)
Yig`indilar ketma-ketligi funksional qatorning qismiy yig`indilar ketma-ketligi deyiladi.
Shuni takidlash lozimki, funksional qatorlarni o`rganish, funksional ketma-ketliklarni o`rganishga ekvivalent.
Ta`rif. Agar da {S<sub>n</sub>(x)} funksional ketma-ketlik x<sub>0</sub> nuqtada (x<sub>0</sub>єX) yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo`lsa, (2) funksional qator x₀ nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi..