Matematikadan olimpiada masalalari

Matematikadan olimpiada masalalari
Variant №1
1. a, b, c, x, y, z - musbat sonlar uchun tengliklar o’rinli bo’lsa, funksiyaning eng kichik qiymatini toping.
Yechimi: tenglamalar sistemasini yechib x, y, z larni topamiz, ya’ni
, , natijalarni olamiz.
Bundan ko’rinadiki, a, b, c larni o’tkir burchakli uchburchakning tomonlari sifatida qarash mumkin. U holda, va deb olish mumkin bo’ladi.
Bundan funksiyani
ko’rinishda almashtiramiz.
Aytaylik, u=ctgA, v=ctgB, w=ctgC bo’lsin. A, B, C lar uchburchak burchaklari bo’lganligi sababli ayniyatdan foydalanib uv+vw+wu=1 va u²+1=(u+v)(u+w) tengliklarni yozamiz. u=ctgA ekanligidan bo’ladi, bundan esa natijani olamiz.
U holda, (4)
Xuddi shunday (5) va
(6) munosabatlarni hosil qilamiz.
(4), (5) va (6) tengsizliklarni qo’shib
tengsizlikni hosil qilamiz.
Javob: , ya’ni .
2. Tenglamalar sistemasini yeching


Yechimi: Berilgan sistemani quyidagicha yozib olamiz

Quyidagi vektorlarni qaraymiz: . Sistemadagi 1-tenglamadan , 2-tenglamadan ekanligini aniqlaymiz. 3-tenglamadan esa bo’lishi ma’lum.
Agar bo’lsa, x=y=0 bo’ladi, u holda 3-tenglamadan ekanini topamiz.
Agar bo’lsa, va vektorlar kollinear, ya’ni bo’ladi.
1) Agar bo’lsa, x+1=2(x+y) va 2z+1=2(y+z). Bu tenglamalardan quyidagi natijalarni olamiz: Ammo berilgan tenglamalar sistemasini faqat yechim qanoatlantiradi.
2) Agar bo’lsa, x+1=-2(x+y) va 2z+1=-2(y+z). Bu tenglamalardan quyidagi natijalarni olamiz: Berilgan tenglamalar sistemasidagi 1-tenglama bu shartni qanoatlantirmaydi, ya’ni bu holda sistema yechimga ega bo’lmaydi. Demak javob: .

3. ABC uchburchakda A= va AB >AC, hamda O nuqta ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana markazi ekani ma’lum. BE va CF balandliklarning kesishish nuqtasi H bo’lsin. BE dan M va CF dan N nuqta shunday olinganki, bunda BM=CN munosabat o’rinli. U holda,