Matematikadan olimpiada masalalari

Matematikadan olimpiada masalalari
Variant №2
1. Musbat haqiqiy a, b, c sonlar uchun a+b+c=6 munosabat o’rinli. ifodaning eng katta qiymatini toping.
Yechimi:
Quyidagicha belgilash olamiz ,
u holda Gyolder tengsizligiga ko’ra

Bunga ko’ra ekanligini aniqlaymiz.

2. Tenglamalar sistemasini yeching

Yechimi: Berilgan sistemadagi 2-tenglamaning chap qismini quyidagicha o’zgartirib olamiz. . Bu M(x;y) va A(2;-1) nuqtalar orasidagi masofani ifodalaydi.
. Bu ifoda esa M(x;y) va B(10;5) nuqtalar orasidagi masofani ifodalaydi.
A(2;-1) va B(10;5) nuqtalar orasidagi masofa esa ga teng bo’ladi. Demak sistemadagi 2-tenglamani geometrik tarzda AM+BM=AB deb olishimiz mumkin. Bunda M nuqta AB kesmaga tegishli bo’lishi uchun uning koordinatalari va oraliqlarda bo’lishi lozim.
A(2;-1) va B(10;5) nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi 3x-4y=10 ko’rinishda bo’ladi. U holda berilgan tenglamalar sistemasiga teng kuchli quyidagi tenglamalar sistemasini yozamiz: . Bu tenglamalar sistemasini yechib x=6 va y=2 yechimlarni topamiz.

3. Uchta bir xil aylanalar H nuqta orqali o’tadi. A, B, C nuqtalar bu aylanalarning ikkinchi kesishish nuqtalari bo’lsin. Agar AH=BC ekani ma’lum bo’lsa, ni toping.

Yechimi: H nuqta ABC uchburchakning balandliklari kesishgan nuqtasi bo’lishini ko’rsatamiz.

Berilgan aylanalarning markazlari A₁, B₁, C₁ bo’lsin ( B va C nuqtalar A₁ markazli aylanada yotadi va shu kabi). Bunda A₁BC₁H –romb bo’ladi, chunki BA₁//HC₁. Ko’rinib turibdiki, shu kabi B₁AC₁H – romb bo’ladi, B₁A//HC₁. Bu natijalardan A₁B//B₁A va A₁B=B₁A (aylana radiuslari bir xil) bo’ladi. AB₁A₁B –parallelogramm bo’lar ekan. Endi CH ( ) – umumiy vatarni o’tkazamiz. A₁B₁//AB ekanligidan bo’ladi. Bunda CH kesma balandligining bir qismi bo’ladi. Xuddi shunday ekanligini ham ko’rsatish mumkin. Quyidagi chizmani qaraymiz:

Bunda dan , dan esa tengliklarni yozamiz. Sinuslar teoremasiga ko’ra, ya’ni quyidagi natijani olamiz: .
Agar A-o’tmas burchak bo’lsa, bo’ladi. Ammo masala shartiga ko’ra AH=BC edi, bunga asosan bo’ladi. Demak bo’lib, bundan yoki ekanligini topamiz.

4. 
   p - tub va n - natural sonlar uchun 1+np - ifoda to’la kvadrat bo’lsin. U holda, n+1 - soni p ta to’la kvadratlar yig’indisiga teng bo’lishini isbotlang.