Matematikadan olimpiada masalalari

Yechimi: Masala shartiga mos chizma chizib olamiz.

ABC uchburchakka ichki chizilgan aylana markazini O bilan belgilaymiz. Aytaylik r₁ radiusli aylana AB va AC tomonlarga, r₂ radiusli aylana AC va BC tomonlarga, r₃ radiusli aylana esa AB va BC tomonlarga urinsin.Bu aylanalarning markazlarini mos ravishda O₁, O₂ va O₃ bilan belgilaymiz. O₁ aylana markazidan AC tomonga parallel qilib to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu chiziqning OP bilan kesishgan nuqtasini D bilan belgilaymiz. Natijada ODO₁ to’g’ri burchakli uchburchak hosil bo’ladi. Bunda OD=OP-DP=R-r₁, OO₁=R+r₁, bo’lib, u holda ekanini topamiz. Bundan esa, kelib chiqadi. Xuddi shunday, va qiymatlarni topamiz. Bu natijalarni masala shartida berilgan ifodaga qo’llasak, bo’ladi. ekanligini ko’rsatish mumkin. Demak tenglik tasdiqlandi.