Matematikadan olimpiada masalalari

Matematikadan olimpiada masalalari

Variant № 3

1. { } - ketma-ketlikda va (n - nomanfiy butun son) ekanligi ma’lum bo’lsa, quyidagilarni isbotlang:
1) barcha lar uchun musbat butun son ekanligini;
2) barcha lar uchun ifoda aniq biror sonning kvadrati bo’lishini.
Yechimi:
1) ifodani quyidagicha shakl almashtiramiz.
(1)
Bundan (2)
(1) dan (2) ni ayirsak

bo’lib, bundan (3)
va ekanligidan va (3) tenglikdan a_n har doim musbat butun son ekanligi ma’lum bo’ladi.
2) (1) ni quyidagicha shakl almashtiramiz:
. Bundan ekanligini topamiz.
2. Tenglamalar sistemasini yeching , bu yerda x>0, y>0, z>0.
Yechimi: Quyidagi vektorlarni qaraymiz. .
Bu vektorlarning uzunliklarini va skalyar ko’paytmasini topamiz.
, ,
Ikkinchi tomondan ekanligidan, va vektorlar kollinear ekanligi ma’lum. U holda, va x=y=z ekanligini topamiz. Bu qiymatni tenglamalar sistemasiga qo’llasak, . Bu tenglamalar sistemasi yechimga ega emasligini ko’rsatish qiyin emas.
3. ifodaning qiymati butun son ekanligini ko’rsating va uni toping.
Yechimi: Avval quyidagi ifodani qaraymiz

Bunga ko’ra bo’ladi.

4. ABC uchburchakka tashqi aylana chizilgan. A₀ va C₀ nuqtalar mos ravishda BC va AB yoylarning (A va C uchlar yotmagan yoylarning) o’rtalarida tanlangan. A₀C₀ – to’g’ri chiziq ABC uchburchakka ichki chizilgan aylanaga urinadi. ABC ni toping.

Yechimi: ABC uchburchakka ichki chizilgan aylana w, uning markazi I nuqta bo’lsin. AC va A₀C₀ chiziqlarning w aylana bilan urinish nuqtasi mos ravishda K va L bo’lsin.
U holda, IKC va ILA₀ uchburchaklarning IKC va ILA₀ burchaklari to’g’ri burchak va IK=IL bo’ladi.

Bundan tashqari A, I, A₀ nuqtalar A burchak bissektrisasida, C, I, C₀ nuqtalar C burchak bissektrisasida yotganligi uchun tenglik o’rinli bo’ladi. Shuning uchun IKC va ILA₀ uchburchaklar teng bo’ladi. Bundan IA₀=IC bo’lib, IA₀C-teng yonli uchburchak ekanini topamiz. Bundan tashqari,

Demak - teng tomonli uchburchak bo’lib, bundan ekani kelib chiqadi.
5. ABC uchburchakka R radiusli aylana ichki chizilgan. Shu uchburchakka yana 3 ta aylana shunday ichki chizilganki, ularning har biri katta aylanaga va uchburchakning ikkita tomoniga urinadi. Kichik aylanalarning radiuslari mos ravishda r₁, r₂ va r₃ bo’lsa, ekanligini isbotlang.