Martingallar

Martingallar
Martingallar zamonaviy ehtimollar nazariyasining asosiy vositasidir, xususan, yaqinlashish tasdiqlari va unga bog’liq bo’lgan teoremalarda keladi. Martingallar texnikasining kelib chiqishi Kac, Marcinkiewicz, Paley, Steinhaus, Wiener va Zygmundning 1930-yilning boshlaridagi mustaqil(yoki ortogonal) funksiyalar va funksiyalarning ma’lum bir qatorlarining yaqinlashishi haqidagi ilmiy maqolalarida ko’rishimiz mumkin misol uchun Marcinkiewicz va Zygmundning ko’plab mulohazalarini o’z ichiga olgan ishlarida ko’rish mumkin. Martingallar nazariyasi bilganimizdek hozir Doob va ko’plab ishlarga keladi va quyidagi bo’lim uning muhim monografiyalarida topilishi mumkin(1953).
Biz martingallarni fazoni o’rgamish uchun foydali bo’lgan analiz vositasi va deyarli barcha joyda yaqinlashuvchi hamda O’lchovlar va Integrallar nazariyasiga qo’shimcha rivolanish kabi tushunishni xohlaymiz. Taqdimotimiz martingallarni tanishtirishning standard yo’llaridan farq qiladi- shartli kutilmalar keying bo’limda aniqlashtiriladi – lekin natijalar va isbotlar deyarli odatiydir. Yagona farq biz nazariyani ehtimollar fazosidan ko’ra, ϭ-chekli o’lchovli fazolar uchun rivojlantirdik. Martingallar va shartli kutilmalarning tili bilan tanish o’quvchilardan sabrli bo’lishlarini tilaymiz.
Bu bo’lim davomida (X, A,µ) ajratish imkonini beruvchi o’lchovli fazo bo’lsin. A ϭ –algebraning o’suvchi qism ketma-ketligi

Agar (X, A,µ) ϭ-chekli bo’lsa, (X, A, ,µ) ni ϭ-chekli tartiblanuvchi o’lchov fazo deymiz. Bundan keyin har doim shunday bo’ladi.Nihoyat, barcha lardan iborat eng kichik -algebra uchun deb yozamiz.

1. 
   Ta’rif: (X, A, ,µ) ϭ-chekli tartiblanuvchi o’lchov fazo bo’lsin. A-o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi va
   

, ( ) (1) bo’lsa,
martingal deb ataladi.(tartiblangan ).
Agar va (2) bo’lsa, ni submartingal deb ataymiz.
Agar va _, (3) bo’lsa, ni supermartingal deb ataladi.
Agar tartiblash asosida ta’kilashni xohlasak, shu kabi yozamiz.