Martingallar

Scholium(mustaqil funksiyalarda):

(i) u₁,u₂,…,u_k+1 (X,A,µ) ehtimollar fazosidagi mustqail integrallanuvchi funksiyalar bo’lsin. U holda
(6)
va (7) bo’ladi.



I sbot: (6) bilan boshlaymiz. Tashkil etuvchisi dan
T o’plamni olamiz. Th 8.8 sababli va qanoatlantiruvchi
sodda funksiyalar ketma-ketligini topamiz. Standart ko’rinish lar uchun
kuchli yaqinlashish teoremasidan foydalanamiz:

b u yerda, biz (5)ni birnecha mos va A_M bilan uchun tatbiq qildik. Bu eslatmadagi shartlarni qanoatlantiruvchi A_k lar uchun isbotlaydi: bu eslatmadagidek o’xshash argument endi (6) ni barcha lar uchun o’rinli ekanini isbotlaydi.

(7) uchun dastlab ϕ ni chegaralangan deb faraz qilaylik. to’plamni olamiz. Th 8.8 dan va kabi, soda funksiyalar ketma-ketligini topamiz. Standart ko’rinish uchun yuqori yaqinlashish teoremasidan foydalanamiz:


Agar ϕ integrallanuvchi bo’lib, chegaralangan bo’lmasa, oldingi hisoblashni chegaralangan funksiyalar
ga qo’llaymiz va yuqori yaqinlashishni o’ngdagi va monoton yaqinlashishni chapdagi uchun foydalanamiz, quyidagini olamiz:




Bu odatda ekanligini ko’rsatadi. Shuning uchun biz yuqori yaqinlashishni
ga quyidagini olish uchun qo’llaymiz: