Martingallar

Eslatma:
(i) (1) ning o’rniga kabi faraz qilish yetarli barcha uchun. Bu yerda ning yaqinlashuvchi ketma-ketligi . Bu faktdan kelib chiqadi:

Bu yerda ν,ρ A_j dagi chekli o’lchovlar va yagonalik teoremasidan da farazaimiz nazarda tutadi- ya’ni ν=ρ A_j da.
Sub- yoki supermartingallar uchun qo’shimcha yarim halqaligi kerak bo’ladi.
(ii) to’plam bo’lsin. S_j yarim halqa ekanligini va ϭ-cheklilik tufayli ϭ(S_j)=A_j ekanligini ko’rish qiyin emas. Shuning uchun , (ii) S_j da barcha to’plamlar uchun va chekli µ- o’lchov bilan barcha to’plamlar (1)-(3) ni faraz qilish uchun yetarli.
(iii) 1.1 ta’rifdagi (2)- holat (2^´) ga ekvivalent.
Haqiqatda: Barcha uchun dan , (2^´)- (2) ni nazarda tutadi. Aksincha, agar sodda funksiya bo’lsa, (2) dan chiziqlilik tufayli (2^´) kelib chiqadi. Umumiylik uchun
Teorema 8.8 (R.L. Schilling) orqali ϕ_k soda funksiyalar ketma-ketligi A_j-o’lchovli ϕ_k ≤ ϕ va ϕ_k ϕ kabi. bo’lganidan, Lebegning muhim yaqinlashish teoremasidan foydalana olamiz
(Teorema 11.2) va natijani olamiz.
O’xshash mulohazalar martingallar (1) va supermartingallar (3) uchun o’rinlidir.
(iv) 1.1 ta’rifdagi bir necha aniq o’zgarishlar bilan ℕ₀, ℤ yoki -ℕ kabi boshqa indeks to’plamlarni mulohaza qila olamiz.
Misollar: (X, A, ,µ) ϭ-chekli tartiblanuvchi o’lchov fazo bo’lsin.
(i) Agar martingal bo’lsa, faqatgina u sub- va supermartingaldir.
(ii) Agar supermartingal bo’lsa, submartingaldir.
(iii) va [sub-] martingallar bo’lsin va α,β lar [musbat] haqiqiy sonlar bo’lsin. U holda (αu_j+β⍵_j) [sub]martingaldir.
(iv) submartingal bo’lsin. U holda ham submartingaldir. Haqiqatda: olamiz va {u_j } A_j ni ko’ramiz. Unda

(v) martingal. U holda submartingaldir. Bu (iii) va (iv) dan kelib chiqadi.
(vi) martingal bo’lsin. Agar bir necha p [1: ) uchun shu bo’lsa, u holda ( sub martingaldir.
Haqiqatda: Barcha x,y lar uchun bunga
e’tibor bering. Bu yerda odatdagidek, agar bo’lsa, deb olamiz. Agar y=u_j+1 va x=u_j, integralni deb olsak, kuchli yaqinlashish teoremasiga ko’ra
(Th 11.2) va submartingalligidan (v) orqali quyidagini topamiz:

(vii) bo’lsin. U holda submartingaldir.
(viii) bo’lsin va barcha uzunligi 2^-j bo’lgan [0:1) da dinamic intervallardan tuzilgan chekli ϭ-algebralarni olamiz.

Ko’rinadiki, va bular ϭ-chekli tartiblanuvchi
o’lchovli fazodir. U holda bu martingaldir.
Haqiqatdan ham, -1 to’plamlar har bir ning shu kabi
(chekli) kesishmaydiganlarining birlashmalaridan iborat bo’lgan, [0;1) ning kesishmaydigan qismlari ekanidan, bizda

bo’ladi va aks holda,
(ix) bo’lsin va uzunligi 2^-j , yarim ochiq dyadic kvadratlarning latteks (katakcha) laridan tashkil topgan A_j dagi ϭ-algebralar deb olamiz,

U holda va ϭ-chekli tartiblanuvchi o’lchov fazosidir.
Har bir haqiqiy-qiymatli funksiyalar uchun, dagi dinamik kvadratlardagi - o’lchovli qadam funksiyasi bo’lgan u_j ni quyidagicha aniqlaymiz:


(4)

U holda martingaldir.
Haqiqatdan ham, bto’plamlar farqli lar uchun kesishmaydigan ekanligidan, (4) dagi yig’indi aniq cheklidir.
Ekanligi yuqoridagi tuzulishidan ravshan. (1) ni ko’rish uchun, ni olamiz va va barcha lar uchun quyidagini ko’ramiz:

k ning qiymatlaridan quyidagiga ega bo’lamiz:



ni , shaklning kesishmaydigan kvadratlaridan tuzilgan ekanligidan, Eslatmadagi orqali talab kelib chiqadi.
(x) ehtimollik fazosi va o’lchovli fazo bu yerda deb faraz qilaylik.
Haqiqiy funksiyalar oilasi erkli deyiladi, agar barcha lar va har
qanday tanlashlar uchun (5) tenglik bajarilsa.

Agar , lardan tashkil topgan ϭ-algebra bo’lsa, u holda qism yig’indilar ketma-ketligi - submartingaldir, faqatgina barcha j lar uchun shu o’rinli bo’lsa. Buni ko’rish uchun bizga qiziqarli bo’lgan qo’shimcha natija kerak: Agar u₁,u₂,…,u_k+1 mustaqil integrallanuvchi funksiaylar bo’lsa, u holda

(6)
va (7) bo’ladi.
Odatda, integrallanuvchi mustaqil funksiyalar qanoatlantiradi.
Haqiqiy muammoga qaytishda, barcha lar uchun quyidagini topamiz:

Shuning uchun, submartingal bo’lishi uchun lar uchun zarur va yetarlidir.
(ix) ((x)-ma’nosida) mustaqil funksiyalar bo’lsin. U holda
Submartingaldir, tartiblanuvchi faqatgina barcha j lar uchun bajarilgandagina. Bu to’g’ridan to’g’ri quyidagidan kelib chiqadi:

2.