Mashinasozlik

1-misol. z_l_i trigonometrik formaga keltirilsin.

Yechish. x1, y1, r x²  y²  1² 1²  2 tg1/ 4. Demak

z 2cosisin 

 4 4 

2-misol. z_1 son trigonometrik formaga keltirilsin.

Yechish. x1, y0, r x²  y² 1, tg0, , zcosisin_.

Kompleks sonlar ustidagi amallar.

1. 
   qo‘shish va ayirish.
   

z₁ x₁ i y₁, z₂ x₂ i y₂

z₁ z₂ x₁ i y₁ x₂ i y₂ x₁ x₂ iy₁  y₂  (3)

Demak, kompleks sonlar qo‘shilganda (ayrilganda) ularning haqiqiy qismlari alohida va mavhum qismlari alohida qo‘shiladi (ayriladi). Kompleks sonlarni qo‘shish va ayirish vektorlar qo‘shilishi va ayrilishiga mos bo‘ladi (2-rasmga qarang).

z

2-rasm

z₂ z₁ - kompleks sonlar ayirmasining moduli.

2. 
   ko‘paytirish va bo‘lish.
   

z₁ x₁ i y₁, z₂ x₂ i y₂

1. 
   z₁ z₂ x₁ i y₁ x₂ i y₂ x₁ x₂  y₁ y₂ ix₁ y₂ x₂ y₁ .
   

Agar kompleks sonlarni trigonometrik formada olsak, unda z₁z₂ r₁cos₁ isin₁ r₂ cos₂ isin₂  r₁ r₂ cos₁ cos₂ sin₁ sin₂

 isin₁ cos₂ cos₁ sin₂r₁ r₂ cos₁ ₂isin₁ ₂ , ^yoki z₁z₂  r₁ r₂ cos₁ ₂isin₁ ₂

Demak, kompleks sonlarni ko‘paytirishda modullari ko‘paytiriladi, argumentlari esa qo‘shiladi. z1r1ei1, z2 r2 ei2, z1z2 r1r2 ei1ei2 r1r2ei12; z1r1ei1 , z2 r2 ei2 , z1z2 r1r2ei1 ei2 r1r2ei12

2. 
   zz12  xx21 i y12 x1 i y1x2 i y2 x1 x2  y1 y22iyx222 y1 x1 y2
   

i y x2 i y2x2 i y2 x2 

 x¹ xx²₂^ ^y_y¹₂2^y2 ^{i x2}_x^y₂2¹_^x_y¹₂2^y2 . Agar z₁ va z₂ trigonometrik formada berilgan bo‘lsa,

₂

unda zz1  rr1eeii211  rr12 ei12  rr12 cos1 2isin1 2

2 2

z¹ r¹ cos₁₂isin₁₂ (5)  

z2 r2

Demak, kompleks sonlarni bo‘lishda ularning argumentlari ayriladi, modullari bo‘linadi.

3) darajaga ko‘tarish va ildiz chiqarish.

1. 
   zrei, kompleks sonini n–darajaga ko‘taraylik zn rein rn ein, yoki
   

zⁿ r ⁿ cosnisinn (6)

Demak, trigonometrik formada berilgan kompleks sonni darajaga ko‘tarishda modul shu darajaga ko‘tariladi, argument darajaga ko‘paytiriladi.

Agar (6) da r=1 bo‘lsa rcosisinⁿ cosnisin Muavr formulasi hosil bo‘ladi.

2. 
   zre^i, kompleks sonini n–darajali ildizi w bo‘lsin, ya’ni
   

ⁿ z we^i, z wⁿ ⁿ cos ni sinn, r cosi sinⁿ cos ni sinn

r _ⁿ , n2k,  ⁿ z , ^{ 2k}, ya' ni

n

ⁿ z ^{n r }_^cos_n2k^i^sin_n2k^_ (7)

3-misol. ³ 8? 88cosisin, chunki r 648, .

Yechish. ³ 8 2^_cos^{ 2k}_isin^{2k }_ k 0,1, 2, bo‘lganda

 n n 

1i 3

³ 82



_1i 3

II. 2.1. zrcosisinre^i kompleks son berilgan bo‘lsin.

zrei2k rei

lnzlnre^ilnriinelnri, ya’ni

lnzlnri (1) lnzlnri2i (2)

1-misol. z=-1 ning logarifmini toping.

Yechish. z1cosisin; r1, _ ln zln1ii

ln zi2kii12k, k 0, 1, 2,...

2.2. Kompleks sonlar tekisligi (Z) da biror E to‘plam berilgan bo‘lsin.

1. 
   - ta‟rif. z – nuqtaning kichik atrofi deb, markazi z nuqtada bo‘lgan yetarli kichik radiusli doiraga tegishli nuqtalar to‘plamiga aytiladi.
   
2. 
   - ta‟rif. Agar z nuqtaning kichik atrofidagi barcha nuqtalar to‘plamga tegishli bo‘lsa z nuqta E to‘plamning ichki nuqtasi deyiladi.
   
3. 
   - ta‟rif. Agar z nuqtaning kichik atrofidagi nuqtalarning ba’zilari E ga tegishli, ba’zilari tegishli bo‘lmasa, u E ning chegaraviy nuqtasi deyiladi.
   

3-rasmda z₁ - ichki, z₂ - chegaraviy, z₃ - tashqi nuqtalardir.

3-rasm

2-misol. a) E : z 1, x²  y² 1 — aylana ichki nuqtalari to‘plami.

b) E : z 1, x²  y² 1 — aylana nuqtalari to‘plami. Agar quyidagi ikki shart bajarilsa:

1. 
   E – to‘plam faqat ichki nuqtalardan iborat bo‘lsa;
   
2. 
   E – to‘plamning har qanday ikki nuqtasini birlashtiruvchi uzluksiz chiziqning barcha nuqtalari E ga tegishli bo‘lsa, tekislikdagi nuqtalar to‘plami (E) — soha deyiladi.
   

Agar soha chegarasidagi har qanday nuqta atrofida shu sohaning hech bo‘lmaganda bitta nuqtasi mavjud bo‘lsa, shu nuqta chegaraviy nuqta deyiladi. Chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lmagan E soha ochiq soha, chegaraviy nuqtalari o‘ziga tegishli bo‘lgan soha yopiq soha deyiladi.

3-misol. a) E : z2 2, xi y2 2, x2²  y² 4- ochiq soha (rasm 4).

y y

4 4

x x

0 2 0 2

4-rasm 5-rasm

b) E : z2 2 yopiq soha, (rasm 5).

2.3. Haqiqiy t argumentli xxt, y yt t uzluksiz funksiyalar berilgan bo‘lsin. Ular tekislikdagi biror uzluksiz egri chiziqning parametrik tenglamasidan iborat bo‘ladi. Agar (bu egri chiziqdagi) t ning ikkita har xil

Z 

nuqtalar mos kelsa, ya’ni karrali nuqtalarga ega bo‘lmasa bu chiziq Jordan chizig„i deyiladi yoki uzluksiz silliq chiziq deyiladi (6 v-rasm).

Agar zxi y ga xxt, y yt ni qo‘ysak zxti ytzt t egri chiziq tenglamasi hosil bo‘ladi. Bunda parametr t _dan  gacha o‘zgarganda z nuqta Jordan chizig‘ini chizadi. Agar zz bo‘lsa, chiziq yopiq chiziq deyiladi. Bitta yopiq Jordan chizig‘i bilan chegaralangan soha bir bog‘lamli (6 arasm), aks holda ko‘p bog‘lamli soha deyiladi (6 b–rasm).

2.4. Berilgan z_x_i y kompleks sonni tekislikda nuqtaga mos keltirish mumkinligini ko‘rgan edik. Endi har qanday kompleks sonni sferadagi nuqta bilan tasvirlash ham mumkinligini ko‘rsatamiz. Buning uchun sferaning janubiy qutbini xoy tekislikning 0 markazi bilan ustma-ust qo‘yamiz. Mana shu tekislikdagi zxi y nuqtani P shimoliy qutb bilan to‘g‘ri chiziq orqali tutashtirsak, u chiziq sferani biror Q nuqta tekislikdagi z nuqtaning sferadagi aksi deyiladi. Shu usulda xoy tekislikning barcha z_n nuqtalarining ham sferadagi aksini topish mumkin, faqat

P nuqtaning o‘ziga tekislikdagi cheksiz uzoqlashgan z nuqta mos keladi deb qabul qilinadi. xoy tekislikning va sferaning nuqtalarini yuqoridagidek bir qiymatli moslash stereografik proyeksiya deyiladi.

P x T

Q_n

Zn

Y z

Q

7-rasm

3. 
   Biror (Z) kompleks tekisligida E kompleks zxi y sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin.
   

1-ta‟rif. Agar E to‘plamdan olingan har bir zxi y songa biror qonun bo‘yicha G dan olingan aniq bir wuiv kompleks son mos kelsa, E to‘plamda w_ f z funksiya berilgan deyiladi.

Bunda zxi y argument, wuiv esa funksiyadir. E to‘plam f z funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi.

25. 
    v
    

25. 
    w
    

E E

0 x 0 u

8-rasm 9-rasm

2-ta‟rif. Agar z_x_i y ning har bir qiymatiga w ning birgina qiymati mos kelsa, w f z bir qiymatli, aks holda ko‘p qiymatli funksiya deyiladi.

Masalan, wz

², w 1 , w2z³,... - bir qiymatli, w_ z, w_⁴ z, w_ ¹

2 ³ z1

,… - ko‘p qiymatli funksiyalardir.

Agar z ning qiymatlariga tegishli nuqtalarni (Z) tekisligida, w ning qiymatlariga tegishli nuqtalarni (W) tekisligiga joylashtirsak, (Z) tekisligidagi E to‘ plamdan olingan har bir z nuqta (W) tekisligidagi w nuqtaga mos keladi. Natijada E to‘plamning aksi (W) tekislikka tushib, biror G to‘plamni hosil qiladi. Bunga esa, w f z funksiya yordamida to‘plamni G to‘plamga akslantirish deyiladi.

1-misol. w_z ² funksiya yordami bilan (Z) tekisligidagi z _1 chiziqning (W) tekisligidagi aksi topilsin.

Yechish. wuiv, wz² xi y² x²  y² 2x yi ux²  y², v2x y, u² v² x²  y²² 2x y² x  y   z 1

25. 
    v
    

25. 
    w
    

x u

0 0

-1 1 -1 1

10-rasm 11-rasm

2-misol. w_z ² funksiya yordami bilan (Z) tekisligidagi y_k x to‘g‘ri chiziqning (W) tekisligidagi aksi topilsin.

Yechish. y_k x, wz ² u x²  y² , v2x y, yk x

u x² k ² x²  x² 1k ²  u 1k ² 1k ²

 ₂   ; u

v2xk x2k x v 2k 2k

Agar k = 2 bo‘lsa, u holda 12 va 13 rasmga ega bo‘lamiz.

y v

Y=2x

4

0 x 4 x

-1 1 -3 0 - 2

- 4 u 

12-rasm 13-rasm

3. 
   Biror E – kompleks sohada w f z funksiya berilgan bo‘lib, z₀ E nuqta berilgan bo‘lsin.
   

1-ta‟rif. Agar oldindan berilgan har qanday kichik _0 son uchun shunday musbat 0 sonni topish mumkin bo‘lsaki, zz₀   bo‘lganda f z A _ o‘rinli bo‘lsa, f z funksiya A o‘zgarmas songa intiladi deyiladi va quyidagicha yoziladi:

lim f z A (1)

zz₀

2-ta‟rif. Agar oldindan berilgan har qanday kichik musbat _0 son uchun shunday musbat 0 sonni topish mumkin bo‘lsaki, bunda zz₀ _ o‘rinli bo‘lganda, f z f z₀ _ tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f z funksiya z₀ nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi:

lim f z f z₀ (2)

zz₀

Bu geometrik jihatdan w f z funksiya z₀ nuqtada uzluksiz bo‘lsa, (Z) tekisligidagi markazi z₀ nuqtada, radiusi  ga teng bo‘lgan doira nuqtalari, w tekislikdagi markazi w₀ nuqtada, radiusi  bo‘lgan doira nuqtalariga o‘tishini ko‘rsatadi.

3-ta‟rif. Sohaning har bir nuqtasida uzluksiz bo‘lgan funksiyalar shu sohada uzluksiz deyiladi.

Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi ta’riflari haqiqiy o‘zgaruvchining limiti va uzluksizligi ta’rifiga o‘xshash bo‘lgani uchun uzluksiz funksiyaning xossalari, ular bilan bajariladigan amallar, ular haqidagi teoremalar va ularning isboti ham haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalar isbotlari kabi bo‘ladi.

Uzluksizlikni quyidagicha ham ta’riflash mumkin: wz f z, w₀  f z, zxi y, z₀ x₀ i y₀ , xxx₀ ,  y y y₀ , bo‘lsa, zzz₀ xi y va

w f z f z₀  funksiya orttirmasi bo‘ladi.

4-ta‟rif. Agar haqiqiy kichik musbat _0 uchun shunday 0 son topish mumkin bo‘lsa, z  bo‘lganda W  o‘rinli bo‘lsa, f z funksiya z₀ nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi lim W0 (3)

z0

Agar zx₀ i y₀ f z f z₀ux, yux₀, y₀ivx, yvx₀, y₀ bo‘ladi va

f z f z₀  ux, yux₀, y₀² vx, yvx₀, y₀² (4) 4-ta’rifdan quyidagi tengsizliklar kelib chiqadi

ux, yux⁰ , y⁰ ^ (5)

_

vx, yvx₀ , y₀ _

Demak, ux, y va vx, y funksiyalar x₀ , y₀  nuqtada uzluksiz ekan.

1-misol. w_z ² funksiya ixtiyoriy z₀ nuqtada uzluksizmi?

Yechish. wz₀ z² z₀² 2z₀ zz²

lim W  lim 2z₀  z z²2z₀ lim  z lim  z²  0

z0 z0 z0 z0