Mashinasozlik

V. 1. Darajali funksiya: w_zⁿ

1. 
   n – natural son bo‘lsa, nN, wzⁿ rⁿe^in;
   
2. 
   n ¹ - kasr son bo‘lsa q
   

w q z  q r cosq2k isin q2k , k 0, 1, 2,...



q ta ildizga ega.

2. Ko„rsatkichli funksiya:

Biz wzⁿ bo‘lgan hol bilan ko‘proq ish ko‘ramiz, ya’ni we^z e^{xi y} e^x cos yisin y bundan

1. 
   e^z2i e^{xi y2i} e^x cosy2isiny2e^x e^{i y} e^z , ya’ni we^z funksiya 2i sof mavhum davrli. Bu haqiqiy sonlar nazariyasidagi ko‘rsatkichli funksiyadan farqli demakdir.
   
2. 
   ez1z2 ez1 ez2 ; v) ez1z2 ez1/ez2 ; g) ez m ezm mos bo‘ladi.
   

3. Logarifmik funksiya: wln z.

Logarifmik funksiya deb, ko‘rsatkichli funksiyaga teskari bo‘lgan wln z ushbu ko‘rinishdagi funksiyaga aytiladi. Agar ze^w bo‘lsa, wln z bo‘ladi.

wln zlnre^ilnri2ki k0, 1, 2,...

Bunda lnr_i_ - logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi. Bulardan ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ko‘p qiymatli ekan. Kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ham haqiqiy o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasining ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi.

Masalan: 1) lnz₁ z₂_ln z₁ln z₂ 3) lnzⁿ nln z2ki

2) lnz / z ln z ln z 4) ln n 2-misol. 3_4i ning logarifmini toping.

_{1 2 1 2} ⁿ Z 1 lnZ

Yechish. z  34i  916 5, arg z arctg

ln34iln5iarctg

ln34iln5iarctg 2ki k 0, 1, 2,...

4. Kompleks o„zgaruvchilarning trigonometrik funksiyalari.

Ushbu e^{i z} cos zisin z va e^iz coszisin z Eyler formulalari berilgan bo‘lsin. Bu formulalarni hadlab qo‘shib va ayirib, quyidagi funksiyaning trigonometrik funksiyalarini aniqlaymiz.

ei z ei z ei z ei z sin z ei z ei z ei z ei z wcos z 2 , sin z 2i , tg z cos z ⁱ e_{i z e}_{i z} , ctg zⁱ _e_{i z e}i <sub>z

</sub>

Kompleks o‘zgaruvchilarning trigonometric funksiyalari ham haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyalarning ko‘pgina xossalariga bo‘ysunadi. Bunda faqat kompleks son cosz va sin z funksiyalarining modullari birdan katta ham bo‘lishi mumkin.

eii eii e1 e e2 1

Masalan: sini  i 1,17i

2i 2i 2e

eii eii e1e e2 1

cosi 1,54

5. Teskari trigonometrik funksiyalar.

Agar zsinw trigonometrik funksiya berilgan bo‘lsa, w – o‘zgaruvchi unga teskari funksiya bo‘lib, u z ning arksinusi deyiladi va bunday yoziladi wArcsin z . Xuddi shuningdek, wArccos z, wArctg z, wArcctg z.

a) zsinweiw 2ieiw e22iiwe_i_w1 2iw 2izei w 10

e 

e^iw  y desak, unda y² 2i zy10

y_1,2 i z i z² 1 i z 1z²

e^{i w} i z 1z²; iwlnelni z 1z² w Arcsin z

1 lni z 1z2 w Arcsin zilni z 1z2  (6) i

Xuddi shuningdek

w Arccos zilnz z² 1 (7) w Arcctg z i ln1^{i z} (8)

2 1i z

w Arcctg z i ^ln z^i (9)

2 zi

Teskari trigonometric funksiyalar ln ga bog‘liq bo‘lganligi uchun ular ham ko‘p qiymatli funksiyalardir.

3-misol. Arcsin 2 ning barcha qiymatlarini hisoblang. Yechish. Arcsin2iln2ii 3iln ^_2 3i^2 2ki^_

_

 2i 32k k 0, 1, 2,...

 iln

2

4-misol. Arctg1_2ining barcha qiymatlarini toping.

Yechish. Arctg 1_2i_ ¹ l n^{1i12i}_ ¹ ln ^i1 kasrning maxrajini

2i 1i12i 2i 3i

komplekslikdan ozod qilib, uning moduli va argumentini topaylik: i1 2 i i1 2 i 4 1 1   ;       3i 5 5 3i 5 5 5 25 5

arg^_ ²  ^{i }_tg  ^1_ ^{2 }_ ¹; arctg _^ ¹_^arctg ¹ arcctg 2

 5 5 5 5  2  2 2

ln^_ ²  ^{i }_ln ¹ iarcctg 22k

 5 5 5

1 i

U holda Arctg 12ik arcctg 2 ln5

2 4

6. Giperbolik funksiyalar.

Kompleks o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari ham haqida o‘zgaruvchilarning giperbolik funksiyalari kabi aniqlanadi.

ez ez ez ez shz ez ez ez ez

shz 2 ; chz 2 ; th z chz  e_z _e_z ; cthz  _ez _e_z

Bunda shz, chz lar 2_i davrli, shz, chz lar _i davrli funksiyalar. Kompleks o‘zgaruvchining giperbolik va trigonometrik funksiyalar orasida quyidagi bog‘lanish mavjud. shzisiniz, chzcosiz, thzitgiz, cthzictgiz.

eiiz^ eiiz^ ez ez ez ez

Isboti. isinizi 2i  2  2 shz

5-misol. cos1_i ning qiymatini hisoblang.

Yechish. cos1ichi1ich1i e1i e1i  1 1i ei1 1e1cos1isin1

e 

2 2 2

 1 ee1

e 1cos1isin1cos1 ee isin1

2 2

VI. Agar E kompleks sohada w f z funksiya berilgan bo‘lib va bu sohaning biror z₀ nuqtasidagi argument va funksiya orttirmalari quyidagicha bo‘lsin: zzz₀ , w f z₀ z f z₀ .

1-ta‟rif. Agar  z har qanday yo‘l bilan nolga intilganda ^{ w} nisbat faqat

 z

birgina aniq limitga intilsa, u limitning qiymati f z funksiyaning z₀ nuqtadagi

¹, f ¹z₀, d w yoki ^{d f} kabi belgilanadi, demak hosilasi deyiladi va w

d z d z

f _z₀_lim ^w _ lim ^{f z0  z f z0} (1)

 z z0  z

yoki w f z₀ ux, yivx, y; wuiv bo‘lgani uchun (1) ni quyidagicha yozish mumkin:

f z_ lim ^w _ lim ^uiv (2)

z0  z _z_y_0₀  xi y

chunki

w f zz f zuxx, y yux, yivxx, y y)vx, yuiv bunda

uux x, y y)ux, y

 x x, y y)x, y

2-ta‟rif. Agar w f z funksiya z₀ nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, uni bu nuqtada differensiallanuvchi yoki monogen funksiya deyiladi.

1-ta’rifdan ko‘rinadiki, agar f z z₀ nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, (1) limitining qiymati  z nolga qaysi yo‘l bilan intilishiga bog‘liq emas. Demak, biz z₀  z nuqtani z₀ nuqtaga parallel holda ham intiltirishimiz mumkin. Bu holda

zx,  y0 bo‘ladi (1 a) rasm).

y y

Z₀ z

z Z₀ z

Y₀  y z x Y₀ Z₀ x

0 X ₀ X₀  x 0 X ₀ a) b)

1-rasm



f _z₀_ ^u _i ^{ y} (3)

 x  x

Xuddi shuningdek z₀ _ z nuqta z₀ ga Oy ga parallel holda intiltirsak x0, zi y bo‘ladi va (2) dan ushbu kelib chiqadi (1 b –rasm).

f z₀limz0 ^^wz limy0 ^ui^ⁱy^{ y} limy0^ ^{ y}y i ^uy ^ ^^y i ^^uy



f _z₀_ ^v _i ^u (4)

 y  y

(3) va (4) lardan ushbu tenglamalarni hosil qilish mumkin

u i i u u ; u (5)

x x  y  y x  y x  y

(5) Koshi-Riman shartlari.

Teorema. f z funksiya z₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun ux, y, vx, y funksiyalar z₀ da differensiallanuvchi va Koshi – Riman shartlarining bajarilishi zarur va yetarlidir.

1-misol. w_x² _ y² 2x yi hosilaga egaligi yoki ega emasligini toping.

Yechish. ^u _2x, ^u _ 2 y, ^v _2 y, ^v _2x Koshi-Riman shartlarini

 x  y  x  y

u v u v

 ; _ tekshiramiz.

 x  y  y  x

2x2x; 2 y2 y. Demak, bu funksiya hosilaga ega.

f zw ^u i ^v 2xi2 y2xi y2z yoki

 x  x

f zx²  y²i2x yxi y²  z²

f zz²^ 2z

2-misol. w_ y_i x hosilaga ega ekanligini tekshiring.

Yechish. u y, vx, ^u 0, u 1, v 1, v 0.

 x  y  x  y

u v u v

 0  11 bitta shart bajarilmagani uchun bu funksiya

x y y x hosilaga ega emas.

Biz ko‘rdikki, agar funksiyaning nuqtadagi hosilasini topish kerak bo‘lsa, quyidagi 4 ta formulaning biridan foydalanish mumkin.

f z u  i v , f z v  i u , f z v  i v , f z u  i u (6)

 x  x  y  y  y  x  x  y

Lekin f z funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari ajralmagan holda bo‘lsa, bu formulalardan foydalanish noqulay bo‘ladi. f z ning hosilasiga matematik analizdagi haqiqiy o‘zgaruvchili funksiyaning hosilasi qoidalarini qo‘llash mumkin, ya’ni:

1. c 0 2. z 1 3. f₁z f₂ z^  f₁z f₂z

^ c f z 5. ^ f ^n z^ n f ^n1z f z^

4. c f z  _{ }

_

3-ta‟rif. Agar f z funksiya E sohaning z₀ nuqtasida va uning atrofida ham differensiallanuvchi bo‘lsa, u funksiya shu nuqtada analitik deyiladi.

4-ta‟rif. Agar f z funksiya E sohaning barcha nuqtalarida hosilaga ega bo‘lsa, u funksiya E da analitik deyiladi.

5-ta‟rif. f z funksiya analitik bo‘lgan nuqtalar uning to‘g‘ri nuqtasi, analitik bo‘lmagan nuqtalari esa maxsus nuqtalari deyiladi.

3-misol. w_x² _ y² _i x y³ funksiyaning analitik yoki analitik emasligi

tekshirilsin.

Yechish. ux2  y2, vx y3, u 2x, v 2 y, v  y3, v 3x y2  x  y  x  y

2x3x y² x23y²0; x0, y ²

3

y³ 2 y yy² 20; y0, y0,0 - shu nuqtadagina hosila mavjud, boshqa

nuqtada hosila yo‘q, ya’ni funksiya analitik emas.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Ё.У.Соатов Олий математика 1,2,3,4,5-кисмлар Тошкент 1992,
   

1994, 1996

2. 
   В.П.Минорски Сборник задач по высшей математике. Москва 1977,
   

1987 й

3. 
   А.Саъдуллаев Математик анализ курси. 1,2,3- Тошкент 1993 кисмлар
   
4. 
   В.Е.Шнейдер Олий математика киска курси. Тошкент 1985 1-кисм
   
5. 
   В.С. Шипачев Высшая математика. Москва 1985 6 Х.Латипов Олий математика. «Алокачи»,
   

Тошкент, 2005