O’ZBEKISTON REPUBLIKASI OLIY
TA’LIM,FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGIO’ZBEKISTON
MILLIY UNVERSITETINING JIZZAX FILALI
AMALIY MATEMATIKA FAKULTETI
AXBOROT XAVFSIZLIGI YONALISHI
MATEMATIK ANALIZ FANIDAN
MUSTAQIL
ISH
Bajardi: Aliqobilov Inomjon
Tekshirdi: Almuratov Firdavs
Reja: N1
1.Ratsional sonlar
2.Iratsional sonlar
3.Kasr sonning o’nlik yozuvi
Reja: N2
1.lemmas haqida
2.Isbotlar
3.Lemma qoidalari
Reja: N3
1.Limit haqida tushuncha
2.Limit haqida teoremalar
3.Limitga ega bo’lgan funksiyalarning xossalari
Reja: N4
1.Funksiyaning uzluksizlik modul tushunchasi
2.Qavariq funksiya tarifi
3.Uzluksiz moduli va uning xossalari
Reja: N5
1.
Lopital teoremasi
2.
Aniqmasliklarni ochishda lopital qoidalari
3.Teylor-Makleron Formulalari
Ratsional sonlar. Ushbu qisqarmaydigan kasr ko’rinishida
tasvirlangan har bir son ratsional son deyiladi. Barcha ratsional
sonSlar to’plami Q harfi bilan belgilaymiz.
Yuqorida p va n sonlar 1 dan boshqa umumiy bo’luvchilari
yo’qligini (p,n)=1 belgi bilan ifodalaymiz. Shunday qilib,
Ratsional sonlarning yuqorida keltirilgan ta’rifi quyidagi ta’rifga
ekvivalent: cheksiz davriy o’nli kasr ko’rinishida
tasvirlanadigan har qanday son ratsional son deyiladi. Shuni
takidlash lozimki, to’plamdagi bir xil elementlar uning bitta
elementi sifatida olinganidek Q to’plamda ham bir-biriga teng
bo’lgan ratsional bitta element deb qaraladi. Ratsional sonlar
to’plami Q ham butun sonlar to’plami kabi tartiblangan.
Ratsional sonlar to’plamidagi eng kichik element ham, eng katta
element ham mavjud emas. Ratsional sonlar to’plamida
qo’shish, ayirish, ko’paytirishdan tashqari bo’lish (nol
bo’lmagan songa) amali ham kiritiladi va bu amallarga nisbatan
quydagi xossalar o’rinlidir
.
bu xossalarda t,s va r lar ixtiyoriy ratsional sonlar.)
10. Kommutativlik: r+t=t+r, rt=tr
20.Assotsiativlik: (r+t)+s=r+(t+s), (r·t)·s=r·(s·t)
30. Distributivlik: (r+t)·s=r·s+t·s
40. Nol sonining xususiyati: r+0=r, r·0=0
50. Bir sonining xususiyati: r·1=r
60. Qarama-qarshi elementning mavjudligi: uchun shunday soni
mavjudki, r+(-r)=0 bo’ladi.
70. Teskari elementning mavjudligi: soni uchun shunday son mavjudki
r·r-1=1 bo’ladi.
80. sonlar uchun r>t bo’lganda r+s>t+s bo’ladi.
90. sonlar uchun r>t bo’lganda r·s>t·s bo’ladi.
100. Ixtiyoriy ikki musbat r va t ratsional sonlar uchun shunday natural
son n mavjudki n·r>t bo’ladi. Bu xossa odatda Arximed aksiomasi ham
deb yuritiladi.
Irratsional sonlar - ratsionalmas, yaʼni kasr bilan aniq, ifodalab
boʻlmaydigan sonlar. I. s. davriymas cheksiz oʻnli kasrlar bilan
ifodalanadi. Irratsional nisbatlarning mavjudligi (mas, kvadrat
diagonalining tomoniga nisbati) qadim zamonlarda ham maʼlum
boʻlgan. "Ix." atamasi birinchi marta 16-asr da paydo boʻlgan. Ammo
izchil I. s. nazariyani 19-asr 2-yarmida nemis matematigi R. Dedekind
va b. olimlar ishlab chiqqan.
Irratsional sonlarning xossalari.
2 ta manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi
mumkin.
Irratsional sonlar ratsional sonlar to‘plamidagi Dedekind bo‘limlarini
belgilaydi, ularning quyi sinfida eng katta son, yuqori sinfda esa undan
kichiki yo‘q.
Har bir haqiqiy transsendental son irratsional sondir.
Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendent hisoblanadi.
Irratsional sonlar to'plami hamma joyda raqamlar chizig'ida zich
joylashgan: har bir juft son o'rtasida irratsional son mavjud.
Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar
to‘plamidagi tartib bilan izomorf.
Irratsional sonlar toʻplami cheksiz, 2-toifali toʻplamdir.
Ratsional sonlar ustidagi har bir arifmetik amalning natijasi (0 ga
bo'lishdan tashqari) ratsional sondir. Irratsional sonlar ustidagi arifmetik
amallarning natijasi ratsional yoki irratsional son bo‘lishi mumkin.
Ratsional va irratsional sonning yig'indisi har doim irratsional son
bo'ladi.
Irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Misol uchun,
bo'lsin x mantiqsiz, keyin y=x*(-1) ham mantiqsiz; x+y=0, va raqam 0
ratsional (agar, masalan, har qanday 7 darajaning ildizini qo'shsak va etti
darajaning ildizini ayirib tashlasak, biz 0 ratsional sonini olamiz).
O'nli kasrlarni o'qish
Keling, o'nli kasrlarni o'qish qoidalari haqida bir necha so'z aytaylik.
Oddiy oddiy kasrlarga to'g'ri keladigan o'nlik kasrlar, xuddi shu oddiy
kasrlar singari o'qiladi, oldindan faqat "nol butun sonlar" qo'shiladi.
Masalan, 0,12 kasr kasr oddiy 12/100 kasrga to'g'ri keladi ("o'n ikki
yuzinchi" o'qing), shuning uchun 0,12 "o'n ikki yuzinchi nol nuqta" ni
o'qiydi.
Aralashgan sonlarga mos keladigan o'nlik kasrlar aynan shu aralash
sonlar singari o'qiladi. Masalan, kasr 56.002 - bu aralash son, shuning
uchun 56.002 kasrda "ellik olti nuqta ikki minginchi qism" o'qiladi.
O'nli joylar
O'nli kasrlarni belgilashda, shuningdek, tabiiy sonlarni belgilashda har
bir raqamning ma'nosi uning joylashishiga bog'liq. Darhaqiqat, 0,3
kasrdagi 3 raqami uchdan o'ntani, o'nlik kasrda 0,0003 - uch o'ninchi
qismni va o'nlik kasrda 30000152 - uch o'n mingni anglatadi. Shunday
qilib, biz gaplashishimiz mumkin kasrli kasrlar, shuningdek, haqida
natural sonlardagi raqamlar.
O'nli kasrdagi raqamlarning kasrga qadar nomlari tabiiy sonlardagi
raqamlarning nomlari bilan to'liq mos keladi.
Kasrlarning ikki turi mavjud - ma'noda, butun sonlarni yozishning ikki
shakli.
Oddiy (yoki vertikal) 1/2 yoki 237/5 kabi kasrlar.
0,5 yoki 47,4 kabi o'nlik kasrlar.
E'tibor bering, umuman olganda, kasr-yozuvidan foydalanish yozilgan
narsa kasr sonini anglatmaydi, masalan 3/3 yoki 7.0 - so'zning birinchi
ma'nosida kasrlar emas, balki ikkinchisida, albatta, kasrlar.
Matematikada, umuman olganda, qadimgi davrlardan boshlab o'nlik
sanash qabul qilingan va shuning uchun kasr kasrlari oddiylarga
qaraganda qulayroq.
Lemmas haqida
Haqiqiy chiziq segmentini qamrab oluvchi har qanday cheksiz
intervallar tizimidan ushbu segmentni ham qamrab oluvchi chekli quyi
tizimni tanlash mumkin.
Bu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish Geyne-Borel lemmasi
deb ham ataladi
Geyne-Borel lemmasini umumiy holatda shakllantirish uchun biz
qoplama tushunchasini kiritamiz.
Toplamlar tizimi:
indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamning qoplami deyiladi,
agar
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami
deyiladi.
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami
deyiladi.
Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X
to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami
deyiladi.
Lemma
fazoda X yopiq cheklangan to‘plam bo‘lsin. X to'plamini qamrab olgan
har qanday ochiq to'plamlar tizimidan bo'lganda, X to'plamini ham
qamrab oladigan chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatishimiz mumkin.
Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: fazosidagi yopiq
chegaralangan to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki
qopqoq mavjud. Qopqoq ochiq to'plamlardan iborat bo'lsa, ochiq
deyiladi
Isbot_Ulardan_kamida_bittasini_dan_chekli_intervalli_quyi_tizim_qam
rab_olmaydi._Keling,_uni_deb_nomlaymiz_va_buning_uchun_ikkiga_b
olinish_jarayonini_takrorlaymiz. Isbot'>Isbot
Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan
segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan
chegara nuqtasida Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi.
Isbot
Segment cheksiz intervallar tizimi bilan qoplansin. Faraz qilaylik, dan
chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. segmentini ikkita
teng segmentga boʻling: va .
Isbot
Ulardan kamida bittasini dan chekli intervalli quyi tizim qamrab
olmaydi. Keling, uni deb nomlaymiz va buning uchun ikkiga bo'linish
jarayonini takrorlaymiz.
Isbot
Har bir bosqichda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etib, biz
uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligini
olamiz, shunday qilib, bu ketma-ketlikning har bir segmentini dan chekli
sonli intervallar bilan qoplab bo'lmaydi.
Isbot
Ammo agar segmentlar qisqarish nuqtasi bo'lsa, u holda segmentda
yotganligi sababli, u tizimining qandaydir intervalga kiritilishi kerak .
Isbot
Keyin ketma-ketlikning barcha segmentlari, qaysidir sondan boshlab,
oraliq bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarning tanlanishiga zid
keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining to'g'riligini
isbotlaydi.
1.
Umumiy qoidalar. Ish muqobil toʻplamlar nazariyasi aksiomatikasi
boʻyicha olib borilgan va Aptorning ushbu nazariya doirasida
matematik tahlil asoslarini asoslash boʻyicha maqolalari turkumini
davom ettiradi. Barcha pierdaylar qurilgan poydevor tuzilmalari,
ratsional sonlar sinfi Q. NCQ natural sonlar sinfi boʻlsin. ACN
ning bo‘sh bo‘lmagan kichik sinfini if (Va ê Al a C A.) segmenti
deb ataymiz, ya’ni u N sinfining boshlang‘ich qismidir.N ustida
berilgan amal, agar ixtiyoriy aÊ A uchun to'g'ri bo'lsa. A. Xususan,
agar amal qo'shish bo'lsa, u holda ko'paytirish ko'paytma bo'lsa,
segment qo'shimcha deb ataladi. Kiritilgan segmentga asoslanib,
biz sinfni aniqlaymiz BQ(A) Q (Ja A chaqiradigan munosabatlarni quramiz.Biz A-identifikatsiyadan
foydalanamiz:(2~4y) ((VA) -
Agar A segmenti qo'shimcha bo'lsa, u holda tuzilgan munosabat
relyatsion spinLTOUTHO hisoblanadi.Ish muqobil to'plam nazariyasida
olib boriladi. Aksiomatikadagi har bir giper-roal tuzilma N sinfidagi
natural sonlar kesimiga asoslanadi. Muallif klassik Geyn-Borel
lemmasining strukturaga to‘g‘ri kelishining zarur va yetarli sharti uning
asosiy kesimining multiplikativligi ekanligini isbotlaydi.
Keling, uni A segmenti tomonidan yaratilgan giperreal tuzilma deb
ataymiz. Bizning muhokamamizning asosiy mavzusi segmentga qanday
talablar qo'yish kerakligi haqidagi savolni o'rganish bo'lib, u tomonidan
yaratilgan giperreal tuzilma imkon qadar sinfga o'xshash bo'lishi kerak.
haqiqiy raqamlar. Ushbu ishda biz ko'rsatamizki, agar to'plam
multiplikativ bo'lsa, u holda Geyne-Boreli siqish R da haqiqiy deb
hisoblanishi mumkin, ya'ni. chegaralangan segmentning har qanday
ochiq qoplamasidan chekli (ma'lum ma'noda) pastki qoplamani tanlash
mumkin.
1.
Limit haqida tushuncha
Limit (lot. Limes — chek, chegara) — matematikaning muhim
tushunchalaridan biri. Agar bir oʻzgaruvchiga bogʻliq ikkinchi
oʻzgaruvchi birinchi oʻzgaruvchining oʻzgarish jarayonida a songa
cheksiz yaqinlashsa, a soni ikkinchi oʻzgaruvchi miqdorning limiti
deyiladi. Bu yerda limit tushunchasi oʻzgarish va cheksiz
yaqinlashish jarayoni haqidagi tasavvurga bogʻliq. limitning aniq
matematik taʼrifi 19-asrboshlarida shakllandi. Natijada
matematikada yangi usul — limitlar usuli paydo boʻldi. Bu
usulning tatbiqi va rivoji differensial hisob va integral hisobning
yaratilishiga, matematik analizning vujudga kelishiga olib keldi.
«lim» belgi qisqartirilgan lotincha «Limes» so’zining birinchi uchta
harifidir, u o’zbek tilida marra, chegara (limit) ma’nosini anglatadi.
Limit nazariyasida limitlarning xossalari tekshiriladi, oʻzgaruvchi
miqdor limitning mavjud boʻlishi shartlari oʻrganiladi, bir necha sodda
oʻzgaruvchi miqdorlarning limitlarini bilgan holda murakkab funksiyalar
limitlarini qisob-lashga imkon beradigan qoidalar topiladi.
Limitnazariyasining asosiy tushunchalaridan biri cheksiz kichik — limiti
nolga teng boʻlgan oʻzgaruvchi miqdor tushunchasi. L. nazariyasining
yaratilishiga I. Nyuton, J. D’Alamber, L. Eyler, O. Koshi, K.
Veyershtrass, Bolsanolar katta hissa qoʻshishgan.
Limit ni hisoblashda ma'lum bir aniq emasliklar mavjud, 1) 0/0
2)cheksiz/cheksiz 3) cheksiz + cheksiz 4) cheksiz - cheksiz. Shunga
o'xshash aniq mesliklar uchun LopitalLopital qoidasi ni qo'llash
mumkin. Unga ko'ra hisoblashda ushbu aniq emaslikka duch kelinsa toki
aniqmaslik yo'qolmaguncha ketmaket hosila olish mumkin.
Limitlar haqidagi teoremalar
Limit teoremalar - ehtimollar nazariyasipy tasodifiy miqsorlar
ketma-ketligi %p ning p cheksizlikka intilishidagi xususiyatlari
haqidagi teoremalar. Limit teoremalar ehtimollar nazariyasining
asosiy natijalarini bayon etish shaklidir. Katta sonlar qonuni,
markaziy limit teorema, takroriy logarifm qonuni Limit
teoremalarning xususiy hollaridir. Bu fakt dastlabki Limit
teoremalardan boʻlib, Muavr — Laplas teoremasi deyiladi.
Funksiyaning limiti haqidagi asosiy teoremalar (yigindi,
kopaytma, bolinma haqidagi) ketma-ketlik limitlarining
teoremalariga oxshash funksiyaning limitini hisoblashni ham
osonlashtiradi.
1-
teorema. Funksiyalar yigindisining (ayirmasining) limiti shu
funksiyalar limitlarining yigindisiga(ayirmasiga) teng:
2-
teorema. Funksiyalar kopaytmasining limiti shu funksiyalar
limitlarining kopaytmasiga teng:
Natija. Ozgarmas kopaytuvchini limit ishorasining oldiga
chiqarish mumkin
3-
teorema. Funksiyalar bolinmasining limiti shu funksiyalar
limitlarining bolinmasiga teng, qachonki, boluvchi funksiyaning
limiti noldan farqli bolganda:
4-
teorema. Agar va funksiyalari uchun a nuqtaning biror
oraligida tengsizliklar bajarilib, bolsa u holda bo`ladi.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham yaqinlashuvchi
ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
3. Limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalari.
Chekli limitga ega bo‘lgan funksiyalar ham
yaqinlashuvchi ketma-ketlik singari qator xossalarga ega.
Faraz qilaylik, funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta
ning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-
xossa. Agar da funksiya limitga ega bo‘lsa, u yagona
bo‘ladi.
Bu xossaning isboti limit ta’riflarining ekvivalentligi
hamda ketma-ketlik limitining yagonaligidan kelib
chiqadi.
2-
xossa. Agar ( – chekli son)
bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, bu
atrofda funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Funksiya limiti ta’rifga binoan
ya’ni bo‘ladi. Keyingi tengsizliklardan funksiyaning
nuqtaning atrofida chegaralanganligi kelib chiqadi.
3-
xossa. Agar
bo‘lib, bo‘lsa, u holda nuqtaning shunday atrofi
topiladiki, bu atrofda bo‘ladi.
Funksiyaning limiti ta’rifiga ko‘ra uchun shunday son
topiladiki, , , uchun
bo‘ladi. Bu esa da bo‘lishini bildiradi.
Faraz qilaylik, va funksiyalar to‘plamda berilgan bo‘lib,
nuqta to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko‘ra ga intiluvchi
ixtiyoriy.
Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossalaridan foydalanib,
(1) va (2) munosabatlardan , ya’ni bo‘lishini topamiz. ►
5-xossa. Faraz qilaylik,
limitlar mavjud bo‘lsin.
Bu tasdiqlarning isboti sonlar ketma-ketliklari ustida arifmetik
amallar bajarilishi haqidagi ma’lumotlardan kelib chiqadi.
•
Agar ixtiyoriy musbat
𝜀
son uchun
𝓍
=
𝓍
0 nuqtani o’z ichiga
olgan shunday interval ko’rsatish mumkun bo’lsaki, bu
intervalning
𝓍
=
𝓍
0nuqtadan tashqari hamma yerida |
𝒻
𝓍
−
𝑙
|
<
𝜀
tengsizlik bajarilsa,
𝑙
soni
𝒻
𝓍
funksiyaning
𝓍
ning
𝓍
0 ga
intilgandagi limiti deyiladi va • lim
𝓍
→
𝓍
0
𝒻
𝓍
=
𝑙
ko’rinishda yoziladi.
Dostları ilə paylaş: |