Matematik fikr yuritishni rivojlantirish. Matematikani o’qitishda masalalarning qo’yilishi. Ularning o’rni va ro’li

Mulohaza va uning qiymatlari. Matematik mantiqning boshlang‘ich tushunchalaridan biri mulohaza tushunchasidir. “Mulohaza” deganda biz rost yoki yolg‘onligi haqida fikr yuritishi mumkin bo‘lgan darak gapni tushunamiz. Har qanday mulohaza yo rost yoki yolg‘on bo‘ladi. Hech bir mulohaza bir vaqtning o‘zida ham rost ham yolg‘on bo‘la olmaydi. Masalan, “5 soni tub son”, “1 soni tub son”, “o`g`limning yoshi otasining yoshidan katta” mulohazalarining birinchisi – rost, ikkinchi va uchinchilari esa yolg‘on mulohazalardir.
So‘roq va undov gaplar mulohaza bo‘la olmaydi. Ta’riflar ham mulohaza bo‘la olmaydi. Masalan, “2 songa bo‘linuvchi son juft son deyiladi” degan ta’rif mulohaza bo‘la olmaydi. Ammo “agar butun son 2 ga bo‘linsa, u holda bu son juft son bo‘ladi” degan darak gap mulohaza bo‘ladi. Bu mulohaza – rost.
x

Ta’rif: Xususiy hulosalarga asoslangan xolda umunmiy xulosa chiqarish metodi- induksiya metodi deb yurutiladi.

Induksiya tabiati jixatidan ikki xil bo`lib, u chala va to`la induksiyalardan iborat.
Chala induksiya ayrim xususiy mulohazalarga tayanib umumiy mulohaza chiqarish metodi hisoblanadi.
Masalan: arifmetik progressiyaning istalagan formulasini keltirib chiqarishda a1=a1, a2= a1+d, a3=a1+2d, a4=a1+3d. deb turib to`g`ridan to`g`ri Sn= a1+(n-1)d umumiy mulohazani yozib qo`yamiz. Shuning uchun chala induksiya mulohazani to`g`riligini kafolatlay olmaydi, chunki (n+1) da noto`g`rib o`lishi mumkin.
Agar qandaydir S qoida berilgan bo`lib, n=1 uchun S(1)=1 bo`lsin. S(n)=1 ekanligidan S(n+1)=1 bo`lsa, u holda n lart uchun o`rinli bo`ladi deb fikrni qatiyatli qo`yilishi bu fikrni unda qatnashayotgan parametrga nisbatan doimo rost bo`lishini taminlashini kafolatlaydi.


Ta’rif : Umumiy xulosaga asoslangan xolda xususiy xulosalar chikarish metodi—deduksiya metodi deb yuritiladi. Ma’lumki, to`plam elementlari orasida turlicha usullar bilan muloxaza yuritish mumkin. Masalan. Biror bo`sh bo`lmagan X to`plam berilgan bo`lib, shu to`plam elementlari orasida quyidagicha muloxazalar yuritilgan bo`lsin:
(1). Biror A(x) tasdiq X to`plamning ba’zi bir elementlar uchun to`g`ri bo`lsa, u xolda A(x) tasdiq X to`plamning barcha elementlari uchun to`g`ri bo`ladi.
(2). Biror A(x) tasdiq X to`plamning har bir elementi uchun to`g`ri bo`lsa, u x o l d a A(x) tasdiq X to`plamning barcha elementlari uchun to`g`ri bo`ladi.
Matematikada (1) usuldagi kabi muloxaza yuritish chala (to`liqmas induksiya) induksiya, (2) usuldagi kabi muloxaza yuritish to`la induksiya deb yuritiladi. «Induksiya» suzi lotincha «inductio» suzidan olingan bo`lib, o`zbek tilida “ hosil qilish”, “yaratish” degan ma’noni anglatadi.


1-misol. N = {1;2;3;4;.... } natural sonlar to`plamida aniqlangan A(n) = n^2 + n + 17 ifodaning qiymati doim tub sondir.
Yechish: n = 1 bulsa, A(1) = 1 +1+17=19- tub son.
n = 2 bulsa, A(2)=2*2 +2+17=23 - tub son.
n = 3 bulsa, A(3)=3*3+3+17=29 - tub son.
n = 4 bulsa, A(4)=4*4 +4+17=37 tub son.
Xulosa. Ixtiyoriy x tegishli N sonlar uchun A(n)= n^2+n+17 ifodaning qiymati tub son bo`ladi.
Bunda chala matematik induksiya yordamida umumiy xulosa chikarildi. Lekin bu xulosa noto`g`ri, chunki n= 16 bo`lganda, A(16)=289=17^17 bo`lib, 289 soni murakkab sondir.


2-misol. (n^3+(n+1)^3+(n+2)^3):9 berilgan ifodaning n - natural son bo`lganda 9 ga qoldiqsiz bo`linishini isbotlang. Buning uchun to`liq induksiya metodi yordamida amalga oshiramiz.Bu metod yordamida isbotlash quyidagi 2 ta qadamda amalga oshiriladi.
1-qadam. Berilgan tasdiqni n=1 uchun o`rinli ekanligi tekshirib ko`riladi.
Agar berilgan tasdik n=1 uchun o`rinli bo`lsa, ikkinchi bosqichga o`tiladi (Aks xolda berilgan tasdiq noto`g`ri degan umumiy xulosa chiqariladi).
2-qadam. Berilgan tasdiq n=k uchun o`rinli deb faraz qilinadi va u n=k+1 uchun o`rinli yoki o`rinli emas ekanligi isbotlanadi.
Agar n=k+1 uchun berilgan tasdiq n ning barcha qiymatlari uchun o`rinli degan umumiy xulosa chiqariladi (Aks xolda, berilgan tasdiq n ning ixtiyoriy qiymatida bajarilmaydi deb umumiy xulosa chiqariladi.)


1-qadam.
n=1 (1+2*2*2+3*3*3):9= 36:9=4
Demak berilgan ifoda n=1 uchun o`rinli ekan.


2-qadam.
n=k uchun (k+(k+1)^2+(k+2)^3):9 =S o`rinli deb faraz qilamiz va n=k+1 uchun boyagi ifodani isbotlaymiz.
Isbot: (S+9(k^2+3k+3)):9 bu ko`paytirish amaliga asosan 9 ga bo`linadi. Demak n=k+1 uchun o`rinli bo`ladi. U holda matematik induksiya metodiga asosan S to`g`rib o`ladi, yani ixtiyoriy n tegishli N da berilgan ifodaning qiymati 9 ga qoldiqsiz bo`linadi.


Ta’rif: Umumiy ma’lumotlarga tayanib ayrin yoki xususiy xulosa chiqarish deduksiya deyiladi .


Misollar:


1.x^2-3x-4 tenglamaning diskremenantini hisoblab, uning haqiqiy yechimlari borligini ko`rsating . D=9+16=25 D>0. Bizga malumki kvadrat tenglamani yechish haqidagi qoidaga ko`ra uning diskremenanti musbat bo`lsa, u ikkita haqiqiy xar xil yechimga ega edi, shuning uchun x^2-3x-4 tenglama ham 2 ta x1=4 , x2=-1 yechimlarga ega.
2.Maktab geometriya kursida ko`sinuslar teoremasining analitik ifodasi quyidagicha:
c^2=a^2+b^2-2ab*cosa^b (1)
Agar (1) da a^b=90 bo`lsa u holda, cos90=0, shuning uchun c^2=a^2+b^2 (2) bo`ladi.
Bizga malumki (2) Pifagor teoremasining ifodasidir.


Ta’rif: O‘xshashlikka asoslanib xulosa chiqarish