Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

2. Skalyar ko‘paytmaning ayrim tatbiqlari

1. Ikki vektor orasidagi burchak.

va vektorlar orasidagi burchak kosinusini (7.1) va ( 7.4) tengliklardan topamiz:

(7.5)

yoki

(7.6)

Shu kabi, fazodagi ikki yo‘nalish orasidagi burchak kosinusi bu yo‘nalishlarning mos (bir nomdagi) yo‘naltiruvchi kosinuslari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng:

. (7.7)

2. Ikki vektorning perpendikulyarlik sharti.

bo‘lsin. U holda bo‘lgani uchun (7.6) tenglikdan

(7.8)

kelib chiqadi.

Fazodagi ikki yo‘nalishlarning perpendikularlik shartini (7.7) tenglikdan topamiz:

(7.9)

3.Vektorning berilgan yo‘nalishdagi proeksiyasi.

(7.3) tenglikdan topamiz:

(7.10)

yoki

. (7.11)

Shu kabi vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari bo‘lgan yo‘nalishdagi (o‘qdagi) proeksiyasi:

. (7.12)

4. Kuchning bajargan ishi.

vektor bilan burchak tashkil etuvchi kuch ta’sirida moddiy nuqta nuqtadan nuqtaga to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ko‘chayotgan bo‘lsin (1-shakl).

Fizika kursidan ma’lumki kuchning ko‘chishdagi bajargan ishi

yoki (7.13)

formula bilan aniqlanadi.

Demak, moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli harakatida o‘zgarmas kuchning bajargan ishi kuch vektori va ko‘chish vektorining skalyar ko‘paytmasiga teng. Bu jumla skalyar k o‘paytmaning mexanik ma’nosini anglatadi.

7.4-misol Moddiy nuqta nuqtadan nuqtaga kuch ta’sirida to‘g‘ri chiziq bo‘ylab ko‘chgan. Quyidagilarni toping:

1) kuchning bajargan ishini; 2) kuchning ko‘chish yo‘nalishidagi proyeksiyasini; 3) kuchning ko‘chish yo‘nalishi bilan tashkil qilgan burchagini.

Yechish. Avval moddiy nuqta ko‘chish vektorini, uning va kuchning uzunligini topamiz:

| | , | | .

U holda:

1)

2)

3)

7.5-misol. va o‘zaro perpendikular vеktorlar bo‘lsin. va birlik vеktorlar orasidagi burchakni toping.

Yechish. bo‘lgani uchun bo‘ladi.

Bundan

yoki

va birlik vеktorlar bo‘lgani sababli:

U holda

yoki

.